a) Với $m = 1$,  ta được hàm số: $y = 2x^{2} + 2x$

• TXĐ: D = R
• Sự biến thiên:

           Ta có:  $y' = 4x + 2$

             => $y' = 0 => x = \frac{-1}{2}$

• Bảng biến thiên:

• Hàm số nghịch biến trên $(-∞; \frac{-1}{2})$, đồng biến trên $(\frac{-1}{2}; +∞)$.
• Cực trị: Hàm số có điểm cực tiểu là $(\frac{-1}{2}; \frac{3}{2})$
• Đồ thị:

b)  Xét hàm số $y = 2x^{2} + 2mx + m - 1$

Ta có:  $y' = 4x + 2m = 2(2x + m)$

=>  $y' = 0 => x = \frac{-m}{2}$

Ta có bảng xét dấu y':

=>  Hàm số có cực trị tại $x = \frac{-m}{2}$

Để hàm số đồng biến trên khoảng $(-1; +∞)$

<=> $\frac{-m}{2}\leq -1$

<=> $m\geq 2$

Vậy khi $m\geq 2$ thì hàm số trên đồng biến trên khoảng $(-1; +∞)$.

Để hàm số có cực trị trên khoảng $(-1; +∞)$

<=> $\frac{-m}{2}>-1$

<=> $m<2$

Vậy khi $m<2$ thì hàm số trên có cực trị trên khoảng $(-1; +∞)$.

c) Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị ($C_{m}$) và trục Ox là:   $2x^{2} + 2mx + m - 1 = 0$     (1)

Xét: $Δ' = m^{2} - 2(m - 1) = m^{2} - 2m + 2= (m + 1)^{2} + 1 > 0 ∀ m ∈ R$

=> Phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt.

=> (đpcm).