a) 

• TXĐ: D = R \ (-1)
• Sự biến thiên: $y'=-\frac{2}{(x+1)^{2}}<0,\forall x\in D$

          => Hàm số luôn nghịch biến trên D.

          => Hàm số không có cực trị.

• Tiệm cận:

           $\lim_{x \to -1^{-}}\frac{x+3}{x+1}=-\infty $

           $\lim_{x \to -1^{+}}\frac{x+3}{x+1}=+\infty $

            =>  $x = -1$ là tiệm cận đứng.

           $\lim_{x \to \pm \infty}\frac{x+3}{x+1}=1$

           => $y=1$ là tiệm cận ngang.

• Bảng biến thiên:

• Đồ thị:

Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và đường thẳng y = 2x + m là: $\frac{x+3}{x+1}=2x+m$

<=> $\left\{\begin{matrix}2x^{2}+(m+1)x+m-3=0 & \\ x\neq -1 & \end{matrix}\right.$

=> x = -1 không là nghiệm của phương trình trên.

Ta có:  $Δ = (m + 1)^{2} - 8(m - 3) = m^{2} - 6m + 25= (m - 3)^{2} + 16 > 0,∀ m$

=> Phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt khác -1.

Vậy đường thẳng $y = 2x + m$ luôn cắt (C) tại 2 điểm phân biệt M và N.

c)  Giả sử $M(x_{1}; y_{1}), N(x_{2}; y_{2})

=> $x_{1}, x_{2}$ là nghiệm của phương trình trên

=> $y_{1} = 2x_{1} + m, y_{2} = 2x_{2}+ m$.

ÁP dụng hệ thức Vi-et, ta có: $\left\{\begin{matrix}x_{1}+x_{2}=-\frac{m+1}{2}& \\ x_{1}.x_{2}=\frac{m-3}{2} & \end{matrix}\right.$

=> $\overrightarrow{MN}=(x_{2}-x_{1},y_{2}-y_{1})=(x_{2}-x_{1},2x_{2}-2x_{1})$

=> $MN^{2}=5(x_{2}-x_{1})^{2}=5(x_{1}+x_{2})^{2}-20x_{1}x_{2}$

<=> $MN^{2}=\frac{5}{4}(m-3)^{2}+20\geq 20,\forall m$

Theo bài ra, để MN đạt giá trị nhỏ nhất <=> $MN^{2}= 20$

<=> $MN=\sqrt{20}$

Dấu " = " xảy ra <=> $m-3=0 <=> m=3$.