Soạn giải tích 12 bài 5: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

Chuyên mục: : Soạn giải tích lớp 12

Đây là bài học quan trọng nhất của chương này. Bài học này tổng hợp tất cả các kiến thức đã học trước đó.

I. Phương pháp khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

Bước 1: Tìm tập xác định.

Bước 2: Sự biến thiên

    Xét chiều biến thiên của hàm số:

  • Tính đạo hàm y';
  • Tìm các điểm tại đó y'=0 hoặc không xác định;
  • Xét dấu đạo hàm y' và suy ra chiều biến thiên của hàm số.

    Tìm cực trị.

    Tìm giới hạn tại vô cực, các giới hạn tại vô cực và tìm tiệm cận (nếu có).

    Lập bảng biến thiên.

Bước 3: Vẽ đồ thị

    Dựa vào bảng biến thiên và các yếu tố xác định ở trên để vẽ đồ thị.

ll. Khảo sát một số hàm đa thức và hàm phân thức

1. Hàm số $y=ax^{3}+bx^{2}+cx+d$ $(a \neq 0)$

Ví dụ: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số $y=x^{3}+3x^{2}-4$.

Giải: TXĐ $D=\mathbb{R}$.

  • Ta có $y'=3x^{2}+6x=3x(x+2)\Rightarrow y'=0\Leftrightarrow \left[ \matrix{x=-2\hfill \cr x=0 \hfill \cr} \right.$

Trên các khoảng $(-\infty,-2)\cup (0,+\infty)$, y'>0 nên hàm số đồng biến. Trên khoảng (-2,0), y'<0 nên hàm số nghịch biến.

  • Cực trị

Hàm số đạt cực đại tại $x=-2, y_{CĐ}=y(-2)=0$

Hàm số đạt cực tiểu tại $x=0, y_{CT}=y(0)=-4$.

  • Các giới hạn tại vô cực 

$\lim_{x \to -\infty}y=\lim_{x \to -\infty}x^{3}(1+\frac{3}{x}-\frac{4}{x^{3}})=-\infty$

$\lim_{x \to +\infty}y=\lim_{x \to +\infty}x^{3}(1+\frac{3}{x}-\frac{4}{x^{3}})=+\infty$

Bảng biến thiên

  • Đồ thị

Giao với Ox, y=0 nên $x^{3}+3x^{2}-4=(x-1)(x+2)^{2}=0\Leftrightarrow \left[ \matrix{x=-2 \hfill \cr x=1 \hfill \cr} \right.$.

Giao với Oy, x=0 nên y=-4.

Dạng của đồ thị hàm số bậc ba $y=ax^{3}+bx^{2}+cx+d (a \neq 0)$

2. Hàm số $y=ax^{4}+bx^{2}+c$ $ (a \neq 0)$

Dạng của đồ thị hàm số $y=ax^{4}+bx^{2}+c$ ($a\neq 0$)

3. Hàm số $y=\frac{ax+b}{cx+d}$ ($c \neq 0, ad-bc \neq 0$)

Dạng của đồ thị hàm số $y=\frac{ax+b}{cx+d}$ ($c \neq 0, ad-bc \neq 0$)

Giải đáp câu hỏi và bài tập

Bài tập 1:Trang 43 - sgk giải tích 12

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số bậc ba sau:

a)  $y = 2 + 3x - x^{3}$     

b)  $y = x^{3} + 4x^{2}+ 4x$

c)  $y = x^{3} + x^{2} + 9x$      

d)  $y = -2x^{3} + 5$

Bài tập 2: Trang 43 - sgk giải tích 12

Khảo sát tự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số bậc bốn sau:

a)  $y = -x^{4} + 8x^{2} - 1$     

b)  $y = x^{4} - 2x^{2} + 2$

c)  $y=\frac{1}{2}x^{4}+x^{2}-\frac{3}{2}$

d)  $y=-2x^{2}-x^{4}+3$

Bài tập 3: Trang 43 - sgk giải tích 12

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số phân thức:

a)  $y=\frac{x+3}{x-1}$

b)  $y=\frac{1-2x}{2x-4}$

c)  $y=\frac{-x+2}{2x+1}$

Bài tập 4: Trang 44 - sgk giải tích 12

Bằng cách khảo sát hàm số, hãy tìm số nghiệm của các phương trình sau:

a)  $x^{3} - 3x^{2} + 5 = 0$

b)  $-2x^{3}+ 3x^{2} - 2 = 0$

c)  $2x^{2} - x^{4} = -1$

Bài tập 5: Trang 44 - sgk giải tích 12

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số:  $y = -x^{3} + 3x + 1$

b) Dựa vào đồ thị (C), biện luận về số nghiệm của phương trình sau theo tham số m:  $x^{3} - 3x + m = 0$

Bài tập 6: Trang 44 - sgk giải tích 12

Cho hàm số :  $y=\frac{mx-1}{2x+m}$

a) Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số m, hàm số luôn đồng biến trên khoảng xác định của nó.

b) Xác định m để tiệm cận đứng của đồ thị đi qua $A(-1,\sqrt{2})$.

c) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 2.

Bài tập 7: Trang 44 - sgk giải tích 12

Cho hàm số : $y=\frac{1}{4}x^{4}+\frac{1}{2}x^{2}+m$

a) Với giá trị nào của tham số m, đồ thị của hàm đi qua điểm (-1; 1) ?

b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi $m = 1$.

c) Viết phương trình tiếp tuyến (C) tại điểm có tung độ bằng $\frac{7}{4}$.

Bài tập 8: Trang 44 - sgk giải tích 12

Cho hàm số: $y = x^{3} + (m + 3)x^{2}+ 1 - m$ (m là tham số)  có đồ thị ($C_{m}$).

a) Xác định m để hàm số có điểm cực đại là $x = -1$.

b) Xác định m để đồ thị ($C_{m}$) cắt trục hoành tại $x = -2$.

Bài tập 9: Trang 44 - sgk giải tích 12

Cho hàm số: $y=\frac{(m+1)x-2m+1}{x-1}$   ( m là tham số ) có đồ thị (G).

a) Xác định m để đồ thị (G) đi qua điểm (0; -1).

b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số với m tìm được.

c) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị trên tại giao điểm của nó với trục tung.

Phần trên, hocthoi.net đã soạn đầy đủ lý thuyết và bài tập của bài học: Soạn giải tích 12 bài 5: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số . Bài học nằm trong chuyên mục: Soạn giải tích lớp 12. Phần trình bày do Nguyễn Huyền chủ biên. Nếu có bài tập nào chưa rõ, có phần nào muốn hiểu rộng thêm, bạn đọc vui lòng comment bên dưới. Ban biên tập sẽ giải đáp giúp các bạn trong thời gian sớm nhất.

Bài soạn các môn khác

Bình luận