a)   Khảo sát hàm số $y = -x^{3} + 3x + 1$

• Tập xác định: D = R
• Sự biến thiên:

           Ta có:  $y' = -3x^{2} + 3 = -3(x^{2} - 1)$

             => $y' = 0 <=> -3(x^{2} - 1) = 0 <=> x = ±1$

• Giới hạn:  $\lim_{x \to -\infty }y=+\infty $

                             $\lim_{x \to +\infty }y=-\infty $

• Bảng biến thiên:

• Hàm số đồng biến trên khoảng (1; 1).
• Hàm số nghịch biến trên các khoảng (-∞; -1) và (1; +∞).
• Cực trị:  Đồ thị hàm số có điểm cực tiểu là: (-1; -1).

                          Đồ thị hàm số có điểm cực đại là: (1; 3).

• Đồ thị:

b) Ta có: $x^{3} - 3x + m = 0$ (*)

<=>  $-x^{3} + 3x = m$

<=>  $-x^{3} + 3x + 1 = m + 1$

Số nghiệm của phương trình (*) chính bằng số giao điểm của đồ thị hàm số (C) với đường thẳng (d): $y = m + 1$.

Biện luận: 

•     Nếu $m + 1 < –1 <=> m < –2$  thì (C ) cắt (d) tại 1 điểm.
•     Nếu $m + 1 = –1 <=> m = –2$  thì (C ) cắt (d) tại 2 điểm.
•     Nếu $–1 < m + 1 < 3 <=> –2 < m < 2$  thì (C ) cắt (d) tại 3 điểm.
•     Nếu $m + 1 = 3 <=> m = 2$  thì (C ) cắt (d) tại 2 điểm.
•     Nếu $m + 1 > 3 <=> m > 2$  thì (C ) cắt (d) tại 1 điểm.

=>  Số nghiệm của phương trình $x^{3} - 3x + m = 0$ phụ thuộc tham số m.

•     Phương trình có 1 nghiệm nếu $m < -2$ hoặc $m > 2$.
•     Phương trình có 2 nghiệm nếu  $m = -2$ hoặc $m = 2$.
•     Phương trình có 3 nghiệm nếu  $-2 < m < 2$.