a) Đồ thị hàm số qua điểm (-1; 1) khi và chỉ khi:

$1=\frac{1}{4}(-1)^{4}+\frac{1}{2}(-1)^{2}+m$

<=> $m=2$.

Vậy $m=2$ thì đồ thị của hàm đi qua điểm (-1; 1).

b) Với m = 1, ta có:   $y=\frac{1}{4}x^{4}+\frac{1}{2}x^{2}+m$

• TXĐ: D = R
• Sự biến thiên:

           Ta có:  $y'=x^{3}+x=x(x^{2}+1)$

           => $y'=0<=> x(x^{2}+1)=0<=> x=0$

• Giới hạn:    $\lim_{x \to \pm \infty }y=+\infty $
• Bảng biến thiên:

• Hàm số đồng biến trên (0; +∞) và nghịch biến trên (-∞; 0)
• Cực trị: Hàm số có điểm cực tiểu là (0; 1).
• Đồ thị:

c)  Điểm thuộc (C) có tung độ bằng $\frac{7}{4}$ 

=> Hoành độ của điểm đó là nghiệm của phương trình: $\frac{1}{4}x^{4}+\frac{1}{2}x^{2}+1=\frac{7}{4}$

Đặt $t=x^{2}\geq 0$

<=> $\frac{1}{4}t^{2}+\frac{1}{2}t+1=\frac{7}{4}$

<=> $\frac{1}{4}t^{2}+\frac{1}{2}t-\frac{3}{4}=0$

<=> $t=1$

<=> $x=\pm 1$

=> Ta có hai điểm là : $B(1;\frac{7}{4})$  và $C(-11;\frac{7}{4})$

Vậy :

• Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm B là: $y=-2x-\frac{1}{4}$
• Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm C là: $y=2x-\frac{1}{4}$