a) Ta có:

• TXĐ:  $D=(-\infty ;-\frac{m}{2})\cup (-\frac{m}{2},+\infty )$
• Sự biến thiên:

            Ta có:  $y'=\frac{m^{2}+1}{(2x+m)^{2}}>0,\forall m$  và $\forall x\in D$

=> hàm số luôn đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó.

b) Ta có:   $\lim_{x \to\frac{-m}{2}}y=+\infty $

=> $x=\frac{-m}{2}$ là tiện cận đứng.

Mà $A(-1,\sqrt{2})$ thuộc đường thẳng $x=\frac{-m}{2}$

<=>  $-\frac{m}{2}=-1=> m=2$

Vậy với m = 2 thì tiệm cận đứng của đồ thị đi qua $A(-1,\sqrt{2})$.

c) Với m = 2 ta được hàm số:  $y=\frac{2x-1}{2x+2}$

• TXĐ: D = R \ {-1}
• Sự biến thiên:

            Ta có :  $y'=\frac{6}{(2x+2)^{2}}>0,\forall x\in D$

=> Hàm số đồng biến trên D.

• Tiệm cận:

$\lim_{x \to -1^{-}}y=+\infty $

$\lim_{x \to -1^{+}}y=-\infty $

=> x = -1 là tiệm cận đứng.

$\lim_{x \to \pm \infty }y=1$

=> y = 1 là tiệm cận ngang.

• Bảng biến thiên:

• Hàm số không có cực trị.
• Đồ thị: