A. Tổng hợp kiến thức

I. Khái niệm lũy thừa

1. Khái niệm

Cho n là một số nguyên dương.

Với a là số thực tùy ý, lũy thừa bậc n của a là tích của n thừa số a.

Chú ý: Trong biểu thức $a^{n}$:

• a gọi là cơ số
• n gọi là số mũ
• Với a khác 0, ta có:
• $a^{0}=1$
• $a^{-n}=\frac{1}{n}$
• Đặc biệt: $0^{0}$; $0^{-n}$ không có ý nghĩa.

2. Phương trình $x^{n}=b$

Biện luận số nghiệm của phương trình $x^{n}=b$

TH n lẻ:

• Với mọi số thực b, phương trình có nghiệm duy nhất.

TH n chẵn:

• $b<0$ => phương trình vô nghiệm.
• $b=0$ => phương trình có một nghiệm $x=0$.
• $b>0$ => phương trình có hai nghiệm trái dấu.

3. Căn bậc n

Cho số thực b và số nguyên dương$n\geq 2$ . Số a được gọi là căn bậc n của số b nếu $a^{n}=b$.

Ví dụ:  $3^{2}=9$

Khi đó:3 là căn bậc 2 của 9.

Biện luận số nghiệm của phương trình $x^{n}=b$:

TH n lẻ và $b\in R$

• Phương trình có duy nhất một căn bậc n của b.
• Ký hiệu: $\sqrt[n]{b}$

TH n chẵn

• $b<0$ => Không tồn tại căn bậc n của b.
• $b=0$ => Có một căn bậc n của b là số 0.
• $b>0$ => Có hai căn trái dấu, là $\pm\sqrt[n]{b}$.

Các tính chất của căn bậc n:

4. Lũy thừa với số mũ hữu tỉ

Cho số thực a dương và số hữu tỉ $r=\frac{m}{n}$, trong đó $m \in Z$, $n \in N^{*}$. Lũy thừa của a với số mũ r là số $a^{r}$ xác định bởi:

5. Lũy thừa với số mũ vô tỉ

• Ta gọi giới hạn của dãy số $a^{r_{n}}$ là lũy thừa của a với số mũ $\alpha$.
• Ký hiệu: $a^{\alpha}$

Chú ý:  $1^{\alpha}=1, (\alpha \in R)$

II.Tính chất của lũy thừa với số mũ thực

Cho a, b là những số thực dương; $\alpha$, $\beta$ là những số thực tùy ý. Khi đó, ta có: