Soạn giải tích 12 bài 1: Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số

Chuyên mục: : Soạn giải tích lớp 12

Bài đầu tiên chúng ta học về tính đơn điệu của hàm số, ứng dụng của đạo hàm để tìm tính chất đơn điệu của hàm số. Bài học này khá quan trọng vì nó móc xích trực tiếp đến các bài học sau của chương này và một số chương sau.

A. Lí thuyết

I. Tính đơn điệu của hàm số

Định nghĩa: Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên K được gọi chung là hàm số đơn điệu trên K.

Hình dáng đồ thị: 

  • Nếu hàm số đồng biến trên K thì đồ thị đi lên từ trái sang phải.
  • Nếu hàm số nghịch biến trên K thì đồ thị đi xuống từ trái sang phải.

Ví dụ: Với hàm số có đồ thị như hình vẽ 

thì hàm số đồng biến trên khoảng $(-\infty,-1) \cup (1,+\infty)$, hàm số nghịch biến trên khoảng (-1,1).

II. Tính đơn điệu và dấu của đạo hàm

1. Định lí

Đinh lí: Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm trên K.

a) Nếu $f'(x)>0$ với mọi x thuộc K thì hàm số f(x) đồng biến trên K.

b) Nếu $f'(x)<0$ với mọi x thuộc K thì hàm số f(x) nghịch biến trên K.

Chú ý: Mở rộng định lí: Giả sử hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm trên K. Nếu $f'(x) \geq 0$ ($f'(x) \leq 0$) với mọi x thuộc K và $f'(x)=0$ chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số đồng biến (nghịch biến) trên K.

2. Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số

  • Bước 1: Tìm tập xác định
  • Bước 2: Tính đạo hàm f'(x). Tìm các điểm $x_{i}$ (i=1,2,...,n) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định.
  • Bước 3: Sắp xếp các điểm $x_{i}$ theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên.
  • Bước 4: Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

Ví dụ: Xét sự đồng biến nghịch biến của hàm số $y=\frac{1}{3} x^{3}-\frac{1}{2}x^{2}-2x+2$

Giải: Hàm số xác định với mọi $x \in R$. Ta có $$y'=x^{2}-x-2=0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{x=-1\hfill \cr x=2 \hfill \cr} \right.$$

Bảng biến thiên

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng $(-\infty,-1) \cup (2,+\infty)$ và nghịch biến trên khoảng (-1,2).

Giải đáp câu hỏi và bài tập

Bài 1: Trang 9 - sgk giải tích 12

Xét sự đồng biến, nghịch biến của các hàm số 

a) $y=4+3x-x^{2}$.

b) $y=\frac{1}{3}x^{3}+3x^{2}-7x-2$.

c) $y=x^{4}-2x^{2}+3$.

d) $y=-x^{3}+x^{2}-5$.

Bài 2: Trang 10 - sgk giải tích 12

Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số

a) $y=\frac{3x+1}{1-x}$;

b) $y=\frac{x^{2}-2x}{1-x}$;

c) $y=\sqrt{x^{2}-x-20}$;

d) $y=\frac{2x}{x^{2}-9}$.

Bài 3: Trang 10 - sgk giải tích 12

Chứng minh rằng hàm số $y=\frac{x}{x^{2}+1}$ đồng biến trên khoảng (-1,1) và nghịch biến trên khoảng $(-\infty;-1)$ và $(1,+\infty)$.

Bài 4: Trang 10  - sgk giải tích 12

Chứng minh rằng hàm số $y=\sqrt{2x-x^{2}}$ đồng biến trên khoảng (0;1) và nghịch biến trên khoảng (1,2).

Bài 5: Trang 10 - sgk giải tích 12

Chứng minh các bất đẳng thức sau

a) $\tan x >x$ ($0<x< \frac{\pi}{2}$)

b) $\tan x > x+\frac{x^{3}}{3}$ ($0<x< \frac{\pi}{2}$).

Phần trên, hocthoi.net đã soạn đầy đủ lý thuyết và bài tập của bài học: Soạn giải tích 12 bài 1: Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số . Bài học nằm trong chuyên mục: Soạn giải tích lớp 12. Phần trình bày do Nguyễn Huyền chủ biên. Nếu có bài tập nào chưa rõ, có phần nào muốn hiểu rộng thêm, bạn đọc vui lòng comment bên dưới. Ban biên tập sẽ giải đáp giúp các bạn trong thời gian sớm nhất.

Bài soạn các môn khác

Bình luận