A. Tổng hợp kiến thức
I. Nguyên hàm và tính chất
1. Nguyên hàm
- Cho hàm số f(x) xác định trên K.
- Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm f(x) trên K nếu F'(x) = f(x) với mọi $x\in K$.
Định lí 1
- Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì với mỗi hằng số C , hàm số G(x) = F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f(x) trên K.
Định lí 2
- Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì mọi nguyên hàm của f(x) trên K đều có dạng F(x) + C, với C là một hằng số.
- Ký hiệu: $\int f(x)dx=F(x)+C$
Biểu thức f(x)dx là vi phân của nguyên hàm F(x) của f(x).
2. Tính chất nguyên hàm
Tính chất 1
$(\int f(x)dx)'=f(x)$ $\int f'(x)dx=f(x)+C$ |
Tính chất 2
| $\int kf(x)dx=k\int f(x)dx$ |
Tính chất 3
| $\int \left [ f(x)\pm g(x) \right ]dx=\int f(x)dx\pm \int g(x)dx$ |
Chú ý: Sự tồn tại của nguyên hàm
- Mọi hàm số f(x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K.
3. Bảng nguyên hàm
II. Phương pháp tính nguyên hàm
1. Phương pháp đổi biến số
Định lí 1
- Nếu $\int f(u)du=F(u)+C$ và $u=u(x)$ là hàm số có đạo hàm liên tục thì $\int f(u(x))u'(x)dx=F(u(x))+C$
Hệ quả
| $\int f(ax+b)dx\frac{1}{a}F(ax+b)+C,(a\neq 0)$ |
2. Phương pháp tính nguyên hàm từng phần
Định lí 2
- Nếu hai hàm số $u=u(x)$ và $v=v(x)$ có đạo hàm liên tục trên K thì:
| $\int u(x)v'(x)dx=u(x)v(x)-\int u'(x)v(x)dx$ |
- Hay: $\int udv=uv-\int vdu$ với $ v'(x)dx=dv,u'(x)dx=du$
Bình luận