a) Ta có: $f'(x) = x^{2} - x - 4$

=> $f'(sinx) = 0 <=> sin2x - sinx - 4 = 0$

Vì $sin2x ≤ 1; -sinx ≥ 1 ∀x ∈ R$

=> $sin2x - sinx ≤ 2$

=> $sin2x - sinx - 4 ≤ -2 ∀x ∈ R$

=> phương trình $f'(sinx) = 0$ vô nghiệm.

Vậy phương trình $f'(sinx) = 0$ vô nghiệm.

b) Ta có: $f"(x) = 2x - 1$

=>$ f"(cosx) = 0 <=> 2cosx - 1 = 0$

<=> $cosx=\frac{1}{2}$

<=> $x=\pm \frac{\prod }{3}+2k\prod (k\in Z)$

Vậy phương trình $f"(cos x) = 0$ có nghiệm $x=\pm \frac{\prod }{3}+2k\prod (k\in Z)$.

c) Theo giả thiết : $f"(x) = 0$

<=> $x=\frac{1}{2}=>y=\frac{47}{12}$

Ta có: $f'(\frac{1}{2})=-\frac{17}{4}$

Phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại $\frac{1}{2}$ là: $y=-\frac{17}{4}(x-\frac{1}{2}+\frac{47}{12}$

<=> $y=-\frac{17}{4}x+\frac{145}{24}$

Vậy phương trình cần tìm là: $y=-\frac{17}{4}x+\frac{145}{24}$