a) Hàm số $y = x^{3} + 3x^{2} + 1$

• TXĐ: D = R
• Sự biến thiên:

          Ta có: $y' = 3x^{2} + 6x = 3x(x + 2)$

• Giới hạn:  $\lim_{x \to -\infty }y=-\infty $

                             $\lim_{x \to +\infty }y=+\infty $

• Bảng biến thiên:

• Hàm số đồng biến trên các khoảng $(-∞; -2)$ và $(0; +∞)$.
• Hàm số nghịch biến trên khoảng $(-2; 0)$.
• Cực trị: Đồ thị hàm số có điểm cực tiểu là $(0; 1)$.

                         Đồ thị hàm số có điểm cực đại là $(-2; 5)$.

• Đồ thị:

b) Từ đồ thị số nghiệm của phương trình $x^{3}+ 3x^{2} + 1 = \frac{m}{2}$ bằng số giao điểm của đồ thị (C) và đường thẳng $y = \frac{m}{2}$

Biện luận: 

• $\frac{m}{2} < 1 <=> m < 2$ => Phương trình có 1 nghiệm.
• $\frac{m}{2} = 1 <=> m = 2$ => Phương trình có 2 nghiệm.
• $1 <\frac{m}{2} < 5 <=> 1 < m < 10$ => Phương trình có 3 nghiệm.
• $\frac{m}{2} > 5 <=> m > 10$ => Phương trình có 1 nghiệm số.

Kết luận:

• Nếu $m < 2$ hoặc $m > 10$ thì phương trình có 1 nghiệm duy nhất.
• Nếu $2 < m < 10$ phương trình có 3 nghiệm.
• Nếu $m = 2$ hoặc $m= 10$ thì phương trình có 2 nghiệm.