a) Ta có: $y' = -4x^{3} + 4mx = 4x(m - x^{2})$   (*)

=> $y' = 0  <=> 4x(m - x^{2}) = 0$

=> $x = 0; x^{2} = m$.

Với $m ≤ 0$ => (*) có 1 nghiệm.

=> Hàm số không có cực trị.

Với $m > 0$ => (*) có 3 nghiệm

=> Hàm số có 3 cực trị.

b) Phương trình hoành độ giao điểm của (Cm) với trục hoành: $-x^{4} + 2mx^{2} - 2m + 1 = 0$  (1)

Đặt $x^{2} = t (t ≥ 0)$ 

=> (1) <=>  $-t^{2} + 2mt - 2m + 1 = 0$   (2)

Để ($C_{m}$) cắt trục hoành <=> (1) phải có nghiệm <=> (2) có nghiệm không âm.

TH1: Phương trình (2) có 2 nghiệm trái dấu

<=> $P<0$

<=> $\frac{-2m+1}{-1}<0<=>-2m+1>0$

<=> $m<\frac{1}{2}$

TH2: Phương trình (2) có 2 nghiệm đều không âm

<=> $\left\{\begin{matrix}\Delta \geq 0 &  & \\ S\geq 0 &  & \\ P\geq 0 &  & \end{matrix}\right.$

<=> $\left\{\begin{matrix}m^{2}+2m-1+ \geq 0 &  & \\ m\geq 0 &  & \\ 2m-1\geq 0 &  & \end{matrix}\right.$

<=> $m\geq \frac{1}{2}$

Vậy với mọi giá trị m thì ($C_{m}$) cắt trục hoành.

c)  Để ($C_{m}$) có cực đại, cực tiểu <=> (*) có ba nghiệm phân biệt.

<=> $x^{2} = m$ có 2 nghiệm phân biệt.

<=> $m > 0$

Vậy khi $m>0$ thì ($C_{m}$) có cực đại, cực tiểu.