Điều kiện đồng biến, nghịch biến của hàm số:

Cho hàm số $y = f(x)$ xác định trên K, hàm số $f(x)$:

• Đồng biến (tăng) trên K nếu $∀ x1, x2 ∈ K: x1 < x2 => f(x1) < f(x2)$.
• Nghịch biến (giảm) trên K nếu  $∀ x1, x2 ∈ K: x1 < x2 => f(x1) > f(x2)$.

Xét hàm số $y = -x^{3} + 2x^{2} - x - 7$

Ta có:  $y' = -3x^{2} + 4x - 1$

=> $y' = 0 => x = 1 ; x=\frac{1}{3}$

=> $y' > 0$ với $x ∈ (\frac{1}{3}; 1) và $y' <0$ với $x ∈ (-∞; 1/3) ∪ (1; +∞)$.

Vậy hàm số đồng biến trên $(1/3; 1)$ và nghịch biến trên $(-∞; 1/3) ∪ (1; +∞)$.

Xét hàm số $y=\frac{x-5}{1-x}$

• Tập xác định: D = R \ {1}
• Sự biến thiên:

          Ta có: $y'=\frac{-4}{(1-x)^{2}}<0,\forall x\in D$

Vậy hàm số luôn nghịch biến trên từng khoảng $(-∞; 1)$ và $(1; +-∞)$.