a) Khảo sát hàm số $f(x) = -x^{3} + 3x^{2} + 9x + 2$

• TXĐ: D = R
• Sự biến thiên:

         Ta có:  $f'(x) = -3x^{2} + 6x + 9$

           => $f'(x) = 0 <=> -3x2^{2}+ 6x + 9 = 0$

           <=> $x = -1; x = 3$.

• Giới hạn:  $\lim_{x \to -\infty }f(x)=-\infty $

                             $\lim_{x \to +\infty }f(x)=-\infty $

• Bảng biến thiên:

• Hàm số đồng biến trên $(-1; 3)$ và nghịch biến trên $(-∞; -1)$ và $(3; +∞)$.
• Cực trị:  Hàm số đạt cực đại tại $(3; 29)$
• Đồ thị:

b) Ta có: $f'(x - 1) > 0$

<=> $-3(x - 1)^{2} + 6(x - 1) + 9 > 0$

<=> $-3(x^{2} - 2x + 1) + 6x - 6 + 9 > 0$

<=> $-3x^{2} + 6x - 3 + 6x - 6 + 9 > 0$

<=> $-3x^{2} + 12x > 0$

<=> $-x^{2} + 4x > 0$

<=> $x(4 - x) > 0$

<=> $0 < x < 4$

Vậy $0 < x < 4$.

c) Ta có: $f"(x) = -6x + 6$

Theo bài: $f"(x_{0}) = -6$

=> $-6x_{0} + 6 = -6$

=> $x_{0} = 2$

=> Phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm $x_{0} = 2$ có dạng:  $y = f'(2)(x - 2) + f(2)$

<=> $y = (-3.2^{2} + 6.2 + 9)(x - 2) + (-2^{3} + 3.2^{2} + 9.2 + 2)$

<=> $y = 9(x - 2) + 24 = 9x + 6$

Vậy phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm $x_{0} = 2$ là: $y=9x+6$.