a) ∆ABC cân, suy ra  \(\widehat {{B_1}} = \widehat {{C_1}}\)

mà $\widehat {{B_1}}$ kề bù với góc $\widehat {ABM}$ và $\widehat {{C_1}}$ kề bù với góc $\widehat {ACN}$

 \(\Rightarrow \widehat {ABM} = \widehat {ACN}\)

Xét ∆ABM và ∆CAN có:

AB = AC (do tam giác ABC cân tại A)

\(\widehat {ABM} = \widehat {ACN}\) (cmt)

BM = ON (gỉa thiết)

=>∆ABM = ∆CAN (c.g.c) 

=>AM = AN (cạnh tương ứng)

=>∆AMN là tam giác cân ở A (đpcm)

b) Do ∆ABM = ∆CAN (c.g.c) 

=> $\widehat {BAM} = \widehat {CAN}$

Xet tam giác vuông ∆BHA và tam giác vuông ∆CKA có :

AB = AC (giả thiết)

$\widehat {BAM} = \widehat {CAN}$ (cmt)

=> ∆BHA  = ∆CHA (cạnh huyền, góc nhọn)

=> BH = CK. (cạnh tương ứng)

c) Câu b ta chứng minh được:

∆BHA  = ∆CHA => AH =AK (cạnh tương ứng)

d) Do tam giác AMN cân => $\widehat {M} = \widehat {N}$

Xét ∆BHM và ∆CKN có:

$\widehat {M} = \widehat {N}$

CN = BM (giả thiết)

=> ∆BHM = ∆CKN (cạnh huyền - góc nhọn)

=> \(\widehat {{B_2}} = \widehat {{C_2}}\)  (góc tương ứng)

Mà \(\widehat {{B_2}} = \widehat {{B_3}};\widehat {{C_2}} = \widehat {{C_3}}\) (hai góc đối đỉnh)

=> \(\widehat {{B_3}} = \widehat {{C_3}}\) .

Vậy ∆OBC là tam giác cân.

e) Tam giác cân ABC có \(\widehat {BAC} = {60^0}\) nên là tam giác đều.

=> AB = BC = AC = BM = CN

\(\widehat {ABM} = \widehat {ACN} = {120^0}\) (cùng bù với 60⁰)

Do AB = BM (chứng minh trên ) => ∆ABM cân ở B

=> \(\widehat M = \widehat {BAM} = {{{{180}^0} - {{120}^0}} \over 2} = {30^0}\) .

=>Trong tam giác AMN có:

 \(\widehat {ANM} = \widehat {AMN} = {30^0}\) .

\(\widehat {MAN} = {180^0} - \left( {\widehat {AMN} + \widehat {ANM}} \right) = {180^0} - {2.30^0} = {120^0}\)

Trong ∆BHM có: \(\widehat M = {30^0}\) 

=>\(\widehat {{B_2}} = {60^0}\) (hai góc phụ nhau)

=> \(\widehat {{B_3}} = {60^0}\)

Tương tự \(\widehat {{C_3}} = {60^0}\)

=>Tam giác OBC có:

\(\widehat {{B_3}} = \widehat {{C_3}} = \widehat {O} = {60^0}\) nên tam giác OBC là tam giác đều.