a.  Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có :  IA = IB = IC.

Xét $\triangle ABC$ có: $AI=\frac{1}{2}BC$

=>  $\triangle ABC$ là tam giác vuông .

=> $\widehat{BAC}=90^{\circ}$    ( đpcm ).

b.   Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có :

IO, IO' là các tia phân giác của hai góc kề bù AIB, AIC .

=> $\widehat{OIO'}=\widehat{OIA}+\widehat{O'IA}$

<=> $\widehat{OIO'}=\frac{1}{2}\widehat{AIB}+\frac{1}{2}\widehat{AIC}$

<=> $\widehat{OIO'}=\frac{1}{2}(\widehat{AIB}+\widehat{AIC})=\frac{1}{2}\widehat{BIC}=\frac{1}{2}.180^{\circ}=90^{\circ}$

Vậy $\widehat{OIO'}=90^{\circ}$ .

c.  Kẻ $AI\perp OO'$

Xét $\triangle OIO'$ vuông tại A có IA là đường cao .

Theo hệ thức giữa cạnh và đường cao ta có: $IA^{2}=AO.AO'=9.4=36$

=> $IA=\sqrt{36}=6(cm)$

Mà : BC = 2IA = 2.6 = 12 (cm)

Vậy BC = 12cm .