Giả sử\(M\) là điểm chia đoạn \(AB\) và \(AB\) có độ dài bằng \(a\).

Gọi độ dài của \(AM = x, 0 < x < a\).

Khi đó \(MB = a - x\).

Theo đề bài ta có tỉ lệ: \({{AM} \over {AB}} = {{MB} \over {AM}}\Leftrightarrow {x \over a} = {{a - x} \over x}\)

Giải phương trình: \(x^2 = a(a - x)\)

\(\Leftrightarrow x^2 + ax - a^2= 0\)

\(\Delta = a^2 + 4a^2= 5a^2\)

\(\Rightarrow \sqrt{\Delta}= a\sqrt{5}\)

$\Rightarrow \left[ \matrix{{x_1} = {{ - a + a\sqrt 5 } \over 2} = {{a(\sqrt 5  - 1)} \over 2} \hfill \cr {x_2} = {{ - a(\sqrt 5  + 1)} \over 2} \hfill \cr} \right.$

Vì \(x > 0\) nên \({x_2}\) không thỏa mãn điều kiện.

Vậy \(AM={{a(\sqrt 5  - 1)} \over 2}\)

Tỉ số cần tìm là: \({{AM} \over {AB}} = \frac{{a{\sqrt 5  - 1} \over 2}}{a}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}\)