BÀI TẬP

Bài 3.19: Trong các tứ giác ở Hình 3.39, tứ giác nào là hình bình hành? Vì sao?

Trả lời:

* Hình 3.39a)

Tứ giác ABCD có: $\widehat{A}$ = $\widehat{C}$, $\widehat{B}$ = $\widehat{D}$

Do đó, tứ giác ABCD là hình bình hành.

* Hình 3.39b)

Tứ giác ABCD có: $\widehat{B}$ ≠ $\widehat{D}$

Do đó, tứ giác ABCD không là hình bình hành.

* Hình 3.39c)

Đặt $\widehat{BCx}$ = $80^o$ (như hình vẽ).

Ta có:  $\widehat{D}$ = $\widehat{BCx}$ =$80^o$ mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên AD // BC.

Tứ giác ABCD có:

• AD // BC (chứng minh trên)

• AD = BC (giả thiết)

Do đó, tứ giác ABCD là hình bình hành.

Vậy tứ giác ABCD trong Hình 3.39a) và 3.39c) là hình bình hành; tứ giác ABCD trong Hình 3.39b) không là hình bình hành.

Bài 3.20: Cho hình bình hành ABCD. Lấy điểm M thuộc cạnh AB và điểm N thuộc cạnh CD sao cho AM = CN. Chứng minh rằng:

a) AN = CM;

b) $\widehat{AMC}$=$\widehat{ANC}$

Trả lời:

a) Vì ABCD là hình bình hành nên AB // CD.

Tứ giác AMCN có AM // CD (vì AB // CD); AM = CN (giả thiết).

Suy ra, tứ giác AMCN là hình bình hành.

Do đó AN = CM (đpcm).

b) Vì tứ giác AMCN là hình bình hành

suy ra  $\widehat{AMC}$=$\widehat{ANC}$ (đpcm).

Bài 3.21: Vẽ tứ giác ABCD theo hướng dẫn sau:

Bước 1. Vẽ đoạn thẳng AB và đường thẳng a song song với AB.

Bước 2. Lấy điểm C ∈ a.

Bước 3. Trên a chọn D sao cho CD = AB và A, D nằm cùng phía đối với BC.

Hãy giải thích tại sao tứ giác ABCD là hình bình hành.

Trả lời:

Ta thực hiện vẽ tứ giác ABCD theo các bước ở đề bài như sau:

Bước 1. Vẽ đoạn thẳng AB và đường thẳng a song song với AB.

Bước 2. Lấy điểm C ∈ a.

Bước 3. Trên a chọn D sao cho CD = AB và A, D nằm cùng phía đối với BC.

Nối AD, BC ta có tứ giác ABCD là hình bình hành.

Tứ giác ABCD là hình bình hành do:

• AB // CD (vì AB // a; C, D ∈ a);

• AB = CD (giả thiết).

Bài 3.22: Cho hình bình hành ABCD có AB = 3 cm, AD = 5 cm.

a) Hỏi tia phân giác của góc A cắt cạnh CD hay cạnh BC?

b) Tính khoảng cách từ giao điểm đó đến điểm C.

Trả lời:

a. 

Vì ABCD là hình bình hành nên BC = AD = 5 cm

Do đó có điểm E duy nhất trên cạnh BC sao cho BE = 3 cm.

Tam giác BAE cân tại B (vì BE = BA) nên  $\widehat{BAE}$= $\widehat{BEA}$

Mà: $\widehat{BAE}$ = $\widehat{EAD}$ (so le trong)

Suy ra $\widehat{BAE}$ = $\widehat{EAD}$ hay AE là tia phân giác của góc A của hình bình hành ABCD. Tia này không cắt cạnh CD.

b) Gọi E là giao điểm của tia phân giác góc A với cạnh BC.

Khoảng cách từ giao điểm đó đến điểm C tức là khoảng cách từ điểm E đến C, chính là độ dài đoạn EC.

Vì AE là tia phân giác của $\widehat{BAD}$ nên $\widehat{A1}$=$\widehat{A2}$

Vì AD // BC (vì tứ giác ABCD là hình bình hành) nên $\widehat{A2}$=$\widehat{E1}$

Do đó: $\widehat{A1}$=$\widehat{E1}$

Tam giác ABE cân tại B (vì $\widehat{A1}$=$\widehat{E1}$) suy ra AB = BE.

Mà AD = BC (vì ABCD là hình bình hành).

Ta có BC = BE + EC.

Suy ra EC = BC – EC = 5 – 3 = 2 (cm).

Vậy EC = 2 cm.

Bài 3.23: Cho hình bình hành ABCD. Lấy điểm E sao cho B là trung điểm của AE, lấy điểm F sao cho C là trung điểm của DF. Chứng minh rằng:

a) Hai tứ giác AEFD, ABFC là những hình bình hành;

b) Các trung điểm của ba đoạn thẳng AF, DE, BC trùng nhau.

Trả lời:

a) Vì ABCD là hình bình hành nên AB = CD; AB // CD.

Mà hai điểm B, C lần lượt là trung điểm AE, DF.

Suy ra AE = DF; AB = BE = CD = CF.

Tứ giác AEFD có AE // DF (vì AB // CD); AE = DF (chứng minh trên).

Do đó tứ giác AEFDlà hình bình hành.

Tứ giác ABFC có AB // CF (vì AB // CD); AB = CF (chứng minh trên).

Do đó tứ giác ABFClà hình bình hành.

Vậy ta chứng minh được hai tứ giác AEFD, ABFC là những hình bình hành.

b) Vì hình bình hành AEFD có hai đường chéo AF và DE nên chúng cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường, ta gọi giao điểm đó là O.

Hình bình hành AEFD có hai đường chéo AF và BC.

Mà O là trung điểm của AF.

Suy ra O cũng là trung điểm của BC.

Vậy các trung điểm của ba đoạn thẳng AF, DE, BC trùng nhau.

Bài 3.24: Cho ba điểm không thẳng hàng.

a) Tìm một điểm sao cho nó cùng với ba điểm đã cho là bốn đỉnh của một hình bình hành. Hãy vẽ hình và mô tả cách tìm.

b) Hỏi tìm được bao nhiêu điểm như vậy?

Trả lời:

a) Gọi ba điểm không thẳng hàng đó là A, B, C. Khi đó ta cần tìm điểm D để bốn điểm A, B, C, D là bốn đỉnh của một hình bình hành (H).

• Nếu đỉnh đối của D trong hình bình hành (H) là B thì trung điểm của BD trùng với trung điểm của AC;

• Ngược lại, lấy điểm D sao cho trung điểm của BD trùng với trung điểm của AC thì (H) là hình bình hành ABCD cần tìm.

b) Từ câu a, suy ra có ba điểm D như vậy là D1, D2 và D3.

• Khi D là đỉnh đối của B thì theo câu a, (H) là hình bình hành ABCD1;

• Khi D là đỉnh đối của A thì (H) là hình bình hành ABD2C;

• Khi D là đỉnh đối của C thì (H) là hình bình hành ACBD3.