1. KHÁI NIỆM ĐA THỨC

KHÁM PHÁ

Hoạt động 1: Hãy nhớ lại, đa thức một biến là gì? Nêu một ví dụ về đa thức một biến.

Trả lời:

Đa thức một biến là tổng của những đơn thức của cùng một biến; mỗi đơn thức trong tổng đó gọi là một hạng tử của đa thức đó.

Một ví dụ về đa thức một biến: 2$x^3$ – $x^2$ + 1.

Hoạt động 2: Em hãy viết ra hai đơn thức tùy ý (không chứa biến, hoặc chứa từ một đến ba biến trong các biến x, y, z) rồi trao đổi với bạn ngồi cạnh để kiểm tra lại xem đã viết đúng chưa. Nếu chưa đúng, hãy cùng bạn sửa lại cho đúng.

Trả lời:

4$x^2$y; -$\frac{1}{2}$; x; 2$x^2$y

Hoạt động 3: Viết tổng của bốn đơn thức mà em và bạn ngồi cạnh đã viết.

Trả lời:

Tính tổng bốn đơn thức đó ta được:

4$x^2$y - $\frac{1}{2}$ + x + 2$x^2$y = 6$x^2$y + x - $\frac{1}{2}$

Luyện tập 1: Biểu thức nào dưới đây là đa thức? Hãy chỉ rõ các hạng tử của mỗi đa thức ấy.

3x$y^2$ -1; x +  $\frac{1}{x}$; $\sqrt{2}$x+$\sqrt{3}$y; x + $\sqrt{xy}$ + y

Trả lời:

Các biểu thức là đa thức gồm: 3x$y^2$ -1 ; $\sqrt{2}$x+$\sqrt{3}$y

 Đa thức  3x$y^2$ -1  có hai hạng tử 3x$y^2$ và -1

Đa thức $\sqrt{2}$x+$\sqrt{3}$y có hai hạng tử $\sqrt{2}$x và $\sqrt{3}$y

VẬN DỤNG

Câu hỏi: Mỗi quyển vở giá x đồng. Mỗi cái bút giá y đồng.

a) Viết biểu thức biểu thị số tiền phải trả để mua:

• 8 quyển vở và 7 chiếc bút;

• 3 xấp vở và 2 hộp bút, biết rằng mỗi xấp vở có 10 quyển, mỗi hộp bút có 12 chiếc.

b) Mỗi biểu thức tìm được ở câu a có phải là đa thức không?

Trả lời:

a)

• Giá tiền 8 quyển vở là: 8x (đồng);

Giá tiền 7 chiếc bút là: 7y (đồng)

Giá tiền 8 quyển vở và 7 chiếc bút là: 8x + 7y (đồng).

• Mỗi xấp vở có 10 quyển nên 3 xấp vở có: 3 . 10 = 30 (quyển vở)

Giá tiền của 3 xấp vở là: 30x (đồng);

Mỗi hộp bút có 12 chiếc nên 2 hộp bút có: 12 . 2 = 24 (chiếc bút)

Giá tiền của 2 hộp bút là: 24y (đồng)

Giá tiền mua 3 xấp vở và 2 hộp bút là: 30x + 24y (đồng).

b) Hai đa thức tìm được ở câu a lần lượt là: 8x + 7y; 30x + 24y đều là các đa thức.

2. ĐA THỨC THU GỌN

Câu hỏi: Đa thức nêu trong tình huống mở đầu có phải là đa thức thu gọn không?

Trả lời:

Đa thức nêu trong tình huống mở đầu là $x^2$ + $y^2$ + $\frac{1}{2}$xy là đa thức thu gọn. 

Luyện tập 2: Cho đa thức

N= $5y^2$$z^2$ - 2$xy^2$z + $\frac{1}{3}$x - 2$y^2$$z^2$ + $\frac{2}{3}$$x^4$ + x$y^2$z

a) Thu gọn đa thức N.

b) Xác định hệ số và bậc của từng hạng tử (tức là bậc của từng đơn thức) trong dạng thu gọn của N.

Trả lời:

a) Thu gọn đa thức N, ta được:

b) Dạng thu gọn của đa thức N có ba hạng tử gồm:

• Hạng tử 3$y^2$$z^2$ có hệ số là 3 và bậc là 4;

• Hạng tử −x$y^2$z có hệ số là −1 và bậc là 4;

• Hạng tử $x^4$ có hệ số là 1 và bậc là 4.

Luyện tập 3: Với mỗi đa thức sau, thu gọn (nếu cần) và tìm bậc của nó:

a) Q = 5$x^2$ – 7xy + 2,5$y^2$ – 8,3y + 1

b) H= 4$x^5$ - $\frac{1}{2}$$x^3$y + $\frac{3}{4}$$x^2$$y^2$ - 4$x^5$ + $2y^2$ - 7

Trả lời:

a) Q = 5$x^2$ – 7xy + 2,5$y^2$ – 8,3y + 1

Đa thức Q đã ở dạng thu gọn và có bậc là 2.

b) H= 4$x^5$ - $\frac{1}{2}$$x^3$y + $\frac{3}{4}$$x^2$$y^2$ - 4$x^5$ + $2y^2$ - 7

H= - $\frac{1}{2}$$x^3$y + $\frac{3}{4}$$x^2$$y^2$ +  $2y^2$ - 7

Đa thức H có bậc là 4.

TRANH LUẬN

Câu hỏi: Bạn Trang nêu vấn đề: Một đa thức bậc hai thu gọn với hai biến (x và y) mà mỗi hạng tử của nó đều có hệ số bằng 1 thì có nhiều nhất là mấy hạng tử? Có ba bạn trả lời như sau:

Anh: Có 3 hạng tử.

Bình: Có 5 hạng tử.

Chung: Có 6 hạng tử.

Em hãy nêu ý kiến của mình và cho biết đó là đa thức nào.

Trả lời:

Một đa thức bậc hai thu gọn với hai biến (x và y) mà mỗi hạng tử của nó đều có hệ số bằng 1 thì có nhiều nhất là 6 hạng tử, đó là đa thức $x^2$ + $y^2$ + xy + x + y + 1.

BÀI TẬP

Bài 1.8: Trong các biểu thức sau, biểu thức nào là đa thức?

−$x^2$ + 3x + 1;  $\frac{x}{\sqrt{5}}$; x - $\frac{\sqrt{5}}{x}$; 2024 ;

3$x^2$$y^2$ -5$x^3$y + 2,4; $\frac{1}{$x^2$ + x +1}$

Trả lời:

Các biểu thức −$x^2$ + 3x + 1; 3$x^2$$y^2$ – 5$x^3$y + 2,4 là các đa thức;

Ta có: $\frac{x}{\sqrt{5}}$ = $\frac{1}{\sqrt{5}}$x

Các biểu thức $\frac{1}{$\sqrt{5}$}$x; 2024 là các đơn thức nên $\frac{1}{$\sqrt{5}$}$; 2024 cũng là các đa thức. 

Các biểu thức x-$\frac{\sqrt{5}}{x}$; $\frac{1}{x^2 + x + 1}$  là không phải là đa thức.

Bài 1.9: Xác định hệ số và bậc của từng hạng tử trong đa thức sau:

a) $x^2$y – 3xy + 5$x^2$$y^2$ + 0,5x – 4;

b) x$\sqrt{2}$ - 2x$y^3$ + $y^3$ - 7$x^3$y

Trả lời:

a) Đa thức $x^2$y – 3xy + 5$x^2$$y^2$ + 0,5x – 4 có:

- Hạng tử $x^2$y có hệ số là 1, bậc là 3;

- Hạng tử –3xy có hệ số là –3, bậc là 2;

- Hạng tử 5$x^2$$y^2$ có hệ số là 5, bậc là 4;

- Hạng tử 0,5x có hệ số là 0,5, bậc là 1;

- Hạng tử –4 có hệ số là –4, bậc là 0.

b)  x$\sqrt{2}$ - 2x$y^3$ + $y^3$ - 7$x^3$y

 Hạng tử x$\sqrt{2}$ có hệ số là $\sqrt{2}$ bậc là 1

 Hạng tử - 2x$y^3$ có hệ số là −2, bậc là 4

 Hạng tử $y^3$ có hệ số là 1, bậc là 3

  Hạng tử - 7$x^3$y có hệ số là −7, bậc là 4

Bài 1.10: Thu gọn các đa thức:

a) 5$x^4$ – 2$x^3$y + 20x$y^3$ + 6x3y – 3$x^2$$y^2$ + x$y^3$ – $y^4$;

b) 0,6$x^3$ + $x^2$z – 2,7x$y^2$ + 0,4$x^3$ + 1,7x$y^2$.

Trả lời:

Bài 1.11: Thu gọn (nếu cần) và tìm bậc của mỗi đa thức sau:

a) $x^4$ – 3$x^2$$y^2$ + 3x$y^2$ – $x^4$ + 1;

b) 5$x^2$y + 8xy – 2$x^2$ – 5$x^2$y + $x^2$.

Trả lời:

a) Thu gọn đa thức:

$x^4$ – 3$x^2$$y^2$ + 3x$y^2$ – $x^4$ + 1

= ($x^4$ – $x^4$) – 3$x^2$$y^2$ + 3x$y^2$ + 1

=  – 3$x^2$$y^2$ + 3x$y^2$ + 1

Đa thức thu gọn ở trên có bậc là 4 nên đa thức đã cho có bậc là 4.

b) Ta có: 5$x^2$y + 8xy – 2$x^2$ – 5$x^2$y + $x^2$.

= (5$x^2$y  – 5$x^2$y ) + 8xy + ($x^2$– 2$x^2$) = 8xy – $x^2$

Đa thức 8xy – $x^2$ có bậc là 2 nên đa thức 5$x^2$y + 8xy – 2$x^2$ – 5$x^2$y + $x^2$ có bậc là 2.

Bài 1.12: Thu gọn rồi tính giá trị của đa thức:

M= $\frac{1}{3}$$x^2$y + x$y^2$ −xy + $\frac{1}{2}$x$y^2$ - 5xy - $\frac{1}{3}$$x^2$y

tại x = 0,5 và y = 1.

Trả lời:

Bài 1.13: Cho đa thức P = 8$x^2$$y^2$z – 2xyz + 5$y^2$z – 5$x^2$$y^2$z + $x^2$$y^2$ – 3$x^2$$y^2$z.

a) Thu gọn và tìm bậc của đa thức P;

b) Tính giá trị của đa thức P tại x = –4; y = 2 và z = 1.

Trả lời:

a. 

P = 8$x^2$$y^2$z – 2xyz + 5$y^2$z – 5$x^2$$y^2$z + $x^2$$y^2$ – 3$x^2$$y^2$z.

=  (8$x^2$$y^2$z – 3$x^2$$y^2$z - 5$x^2$$y^2$z) + $x^2$$y^2$ – 2xyz + 5$y^2$z 

= $x^2$$y^2$ - 2xyz + 5$y^2$z 

 b) Thay x = –4; y = 2 và z = 1 vào đa thức P, ta được:

P = $(–4)^2$ . $2^2$– 2 . (–4) . 2 . 1 + 5 . $2^2$ . 1 = 16 . 4 + 8 . 2 + 5 . 4

= 64 + 16 + 20 = 100.

Vậy P = 100 tại x = –4; y = 2 và z = 1.