MỞ ĐẦU

Câu hỏi: Trong một trò chơi trí tuệ trên truyền hình dành cho học sinh, người dẫn chương trình yêu cầu các bạn học sinh cho biết kết quả phép tính 198 . 202. Ngay lập tức một bạn đã chỉ ra kết quả đúng. Bạn ấy tính như thế nào mà nhanh thế nhỉ?

Trả lời:

Để tính nhanh kết quả phép tính 198 . 202, ta áp dụng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương, ta có:

198 . 202 = (200 – 2)(200 + 2) = $200^2$ – $2^2$ = 40 000 – 4 = 39 996.

1. HẰNG ĐẲNG THỨC

Luyện tập 1: Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào là hằng đẳng thức?

a) a(a + 2b) = $a^2$ + 2ab;

b) a + 1 = 3a – 1.

Trả lời:

a) Đẳng thức a(a + 2b) = $a^2$ + 2ab là hằng đẳng thức;

b) a + 1 = 3a – 1 không là hằng đẳng thức (vì khi ta thay a = 0 thì kết quả ở vế trái bằng 1 còn kết quả ở vế phải bằng – 1. Khi đó, kết quả hai vế của đẳng thức không bằng nhau).

2. HIỆU HAI BÌNH PHƯƠNG

KHÁM PHÁ

Hoạt động 1: Quan sát Hình 2.1.

a) Tính diện tích của phần hình màu xanh ở Hình 2.1a.

b) Tính diện tích hình chữ nhật màu xanh ở Hình 2.1.b.

c) Có nhận xét gì về diện tích của hai hình ở câu a và câu b?

Trả lời:

a) Xét Hình 2.1a:

Diện tích hình vuông bao gồm cả phần màu vàng và phần màu xanh là: $a^2$.

Phần màu vàng là hình vuông có cạnh là b nên có diện tích bằng: $b^2$.

Diện tích của phần hình màu xanh ở Hình 2.1.a là: $a^2$ – $b^2$.

b) Phần hình màu xanh ở Hình 2.1.b có chiều dài là a + b.

Diện tích hình chữ nhật màu xanh ở Hình 2.1.b là: (a + b)(a – b).

c) Nhận xét: Diện tích của hai hình ở câu a và câu b bằng nhau.

Hoạt động 2: Với hai số a, b bất kì, thực hiện phép tính (a + b)(a – b).

Từ đó rút ra liên hệ giữa $a^2$ – $b^2$ và (a + b)(a – b).

Trả lời:

 Ta có: (a + b)(a – b) = $a^2$ + ab - ab – $b^2$ =  $a^2$–$b^2$

Do đó: $a^2$  - $b^2$ = (a + b)(a – b).

Luyện tập 2: a) Tính nhanh $99^2$ – 1;

b) Viết $x^2$ – 9 dưới dạng tích.

Trả lời:

a) Ta có $99^2$ – 1 = (99 + 1)(99 – 1) = 100 . 98 = 9 800;

b) Ta có $x^2$  – 9 = $x^2$  – 32 = (x + 3)(x – 3).

Vậy $x^2$  – 9 = (x + 3)(x – 3).

VẬN DỤNG 1

Câu hỏi: Ở bài toán mở đầu, em hãy giải thích xem bạn đó tính nhanh như thế nào.

Trong một trò chơi trí tuệ trên truyền hình dành cho học sinh, người dẫn chương trình yêu cầu các bạn học sinh cho biết kết quả phép tính 198 . 202. Ngay lập tức một bạn đã chỉ ra kết quả đúng. Bạn ấy tính như thế nào mà nhanh thế nhỉ?

Trả lời:

Để tính nhanh kết quả phép tính 198 . 202, ta áp dụng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương, ta có:

198 . 202 = (200 – 2)(200 + 2) = $200^2$ – $x^2$ = 40 000 – 4 = 39 996.

3. BÌNH PHƯƠNG CỦA MỘT TỔNG

Hoạt động 3: Với hai số a, b bất kì, thực hiện phép tính (a + b)(a + b). Từ đó rút ra liên hệ giữa $(a + b)^2$ và $a^2$ + 2ab + $b^2$.

Trả lời:

Ta có: (a + b)(a + b) = $a^2$ + ab + ab + $b^2$ = $a^2$ + 2ab + $b^2$

Ta thấy (a + b)(a + b) = $(a + b)^2$ ; (a + b)(a + b) = $a^2$ + 2ab + $b^2$. 

Do đó $(a + b)^2$ = $a^2$ + 2ab + $b^2$.

Luyện tập 3: 

1. Khai triển $(2b + 1)^2$.

2. Viết biểu thức 9$y^2$ + 6yx + $x^2$ dưới dạng bình phương của một tổng.

Trả lời:

1. Ta có $(2b + 1)^2$ =  $(2b)^2$ + 2 . 2b . 1 + $1^2$ = 4$b^2$ + 4b + 1.

2. Ta có 9$y^2$ + 6yx + $x^2$ = $(3y)^2$ + 2 . 3y . x + $x^2$ = $(3y + x)^2$.

Vậy 9$y^2$ + 6yx + $x^2$ = (3y + x)

4. BÌNH PHƯƠNG CỦA MỘT HIỆU

Hoạt động 4: Với hai số a, b bất kì, viết a – b = a + (–b) và áp dụng hằng đẳng thức bình phương của một tổng để tính $(a - b)^2$.

Trả lời:

Ta có   $(a - b)^2$ = $a^2$ - 2ab + $b^2$.

Do đó $(a - b)^2$ = $a^2$ - 2ab + $b^2$.

Luyện tập 4: Khai triển $(3x – 2y)^2$.

Trả lời:

Ta có $(3x – 2y)^2$ = $(3x)^2$ – 2 . 3x . 2y + $(2y)^2$ = 9$x^2$ – 12xy + 4$y^2$.

VẬN DỤNG 2

Câu hỏi: Trong trò chơi “Ai thông minh hơn học sinh lớp 8”, người hướng dẫn chương trình yêu cầu các bạn học sinh cho biết kết quả của phép tính $1002^2$. Chỉ vài giây sau, Nam đã tính kết quả chính xác và giành được điểm. Em hãy giải thích xem Nam đã tính nhanh như thế nào.

Trả lời:

Sử dụng công thức bình phương của một tổng, ta thực hiện:

$1002^2$ = $(1002+2)^2$ = $1002^2$  + 2 . 1 000 . 2 + $2^2$

= 1 000 000 + 4 000 + 4 = 1 004 004.

BÀI TẬP

Bài 2.1: Những đẳng thức nào sau đây là hằng đẳng thức?

a) x + 2 = 3x + 1;

b) 2x(x + 1) = 2$x^2$ + 2x;

c) (a + b)a = $a^2$ + ba;

d) a – 2 = 2a + 1.

Trả lời:

a) Đẳng thức x + 2 = 3x + 1 không phải là hằng đẳng thức vì khi x = 0 thì kết quả ở vế trái bằng 2, vế phải bằng 1, khi đó kết quả của hai vế không bằng nhau;

b) Đẳng thức 2x(x + 1) = 2$x^2$ + 2x là hằng đẳng thức;

c) Đẳng thức (a + b)a = $a^2$ + ba là hằng đẳng thức;

d) Đẳng thức a – 2 = 2a + 1 không phải là hằng đẳng thức vì khi x = 2 thì kết quả ở vế trái bằng 0, vế phải bằng 5, khi đó kết quả của hai vế không bằng nhau.

Bài 2.2: Thay ? bằng biểu thức thích hợp.

Trả lời:

a) Ta có (x – 3y)(x + 3y) = $x^2$ – (3y)2 = $x^2$ – 9y2.

Vậy ta điền như sau (x-3y)(x+3y) = $x^2$ - 9$y^2$.

b) Ta có (2x – y)(2x + y) = $(2x)^2$ – $y^2$ = 4$x^2$ – $y^2$.

Vậy ta điền như sau (2x – y)(2x + y) = 4$x^2$ – $y^2$.

c) Ta có $x^2$ + 8xy + 16$y^2$ = $x^2$ + 2 . x . 4y + $(4y)^2$ = $(x + 4y)^2$.

Vậy ta điền như sau 4$x^2$ - 12xy + 9$y^2$ = $(2x –3y)^2$

Bài 2.3: Tính nhanh:

a) 54 . 66;

b) $203^2$.

Trả lời:

a) 54 . 66 = (60 – 6)(60 + 6) = $60^2$ – $6^2$

= 3 600 – 36 = 3564;

b) 2032 = $(200 + 3)^2$ = $200^2$+ 2 . 200 . 3 + $3^2$

= 40 000 + 1 200 + 9 = 41 209.

Bài 2.4: Viết các biểu thức sau dưới dạng bình phương của một tổng hoặc một hiệu:

a) $x^2$ + 4x + 4;

b) 16$a^2$ – 16ab + 4$b^2$.

Trả lời:

a) $x^2$ + 4x + 4= $(x+2)^2$

b) 16$a^2$ – 16ab + 4$b^2$= $(4a-2b)^2$

Bài 2.5: Rút gọn các biểu thức sau:

a) $(x – 3y)^2$ – $(x + 3y)^2$;

b) $(3x + 4y)^2$ + $(4x – 3y)^2$.

Trả lời:

a) $(x – 3y)^2$ – $(x + 3y)^2$;

b) $(3x + 4y)^2$ + $(4x – 3y)^2$.

Bài 2.6: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n, ta có:

$(n + 2)^2$ – $n^2$ chia hết cho 4.

Trả lời:

Ta có $(n + 2)^2$ – $n^2$ = (n + 2 – n)(n + 2 + n) = 2(2n + 2) = 4n + 4 = 4(n + 1)

Vì n là số tự nhiên nên n + 1 cũng là số tự nhiên

Và 4 ⋮ 4 nên 4(n + 1) ⋮ 4.

Vậy với mọi số tự nhiên n, ta có $(n + 2)^2$ – $n^2$ chia hết cho 4.a