MỞ ĐẦU

Câu hỏi: Giả sử độ dài hai cạnh của một hình chữ nhật được biểu thị bởi M = x + 3y + 2 và N = x + y. Khi đó, diện tích của hình chữ nhật được biểu thị bởi

MN = (x + 3y + 2)(x + y).

Trong tình huống này, ta phải nhân hai đa thức M và N. Phép nhân đó được thực hiện như thế nào và kết quả có phải là một đa thức hay không?

Trả lời:

Ta thực hiện như sau:

MN = (x + 3y + 2)(x + y)

= x . x + 3y . x + 2 . x + x . y + 3y . y + 2 . y

= $x^2$ + 3xy + 2x + xy + 3$y^2$ + 2y

= $x^2$ + 4xy + 2x + 3$y^2$ + 2y.

Kết quả của phép nhân hai đa thức M và N là một đa thức.

1. NHÂN ĐƠN THỨC VỚI ĐA THỨC

Luyện tập: Nhân hai đơn thức

a) 3$x^2$ và 2$x^3$;

b) –xy và 4$z^3$;

c) 6x$y^3$ và –0,5$x^2$.

Trả lời:

a) 3$x^2$ và 2$x^3$= 6$x^5$

b) –xy và 4$z^3$=-4xy$z^3$

c) 6x$y^3$ và –0,5$x^2$=–3$x^3$$y^3$

KHÁM PHÁ

Hoạt động 1: Hãy nhớ lại quy tắc nhân đơn thức với đa thức trong trường hợp chúng có một biến bằng cách thực hiện phép nhân (5$x^2$) . (3$x^2$ – x – 4).

Trả lời: 

Ta có: (5$x^2$) . (3$x^2$ – x – 4)

= 5$x^2$ . 3$x^2$ - 5$x^2$ . x - 5$x^2$ . 4

= 15$x^4$ - 5$x^3$ - 20$x^2$

Hoạt động 2: Bằng cách tương tự, hãy làm phép nhân (5$x^2$y) . (3$x^2$y – xy – 4y).

Trả lời:

(5$x^2$y) . (3$x^2$y – xy – 4y)

=15$x^4$$y^2$ - 5$x^3$$y^2$ - 20$x^2$$y^2$

Luyện tập 2: Làm tính nhân:

a) (xy) . ($x^2$ + xy – $y^2$);

b) (xy + yz + zx) . (–xyz).

Trả lời:

a) (xy) . ($x^2$ + xy – $y^2$)=  $x^3$ y + $x^2$$y^2$ – x$y^3$.

b) (xy + yz + zx) . (–xyz)=  $x^2$$y^2$z – x$y^2$$z^2$ – $x^2$y$z^2$

VẬN DỤNG

Câu hỏi: Rút gọn biểu thức: $x^3$(x + y) – x($x^3$ + $y^3$).

Trả lời:

$x^3$(x + y) – x($x^3$ + $y^3$)

= $x^4$+$x^3$y-$x^4$-x$y^3$=$x^3$y-x$y^3$

2. NHÂN ĐA THỨC VỚI ĐA THỨC

KHÁM PHÁ

Hoạt động 3: Hãy nhớ lại quy tắc nhân hai đa thức một biến bằng cách thực hiện phép nhân:

(2x + 3) . ($x^2$ – 5x + 4).

Trả lời:

(2x + 3) . ($x^2$ – 5x + 4).

=2x . $x^2$ – 2x . 5x + 2x . 4 + 3 . $x^2$ – 3 . 5x + 3 . 4

= 2$x^3$ – 7$x^2$  – 7x + 12.

Hoạt động 4:  Bằng cách tương tự, hãy thử làm phép nhân

(2x + 3y) . ($x^2$ – 5xy + 4$y^2$).

Trả lời:

(2x + 3y) . ($x^2$ – 5xy + 4$y^2$).

= 2$x^3$ + 12$y^3$ – 7$x^2$ y – 7x$y^2$

Luyện tập 3: Thực hiện phép nhân:

a) (2x + y)(4$x^2$ – 2xy + $y^2$);

b) ($x^2$$y^2$ – 3)(3 + $x^2$$y^2$).

Trả lời:

a) (2x + y)(4$x^2$ – 2xy + $y^2$);

= 8$x^3$+ $y^3$.

b) ($x^2$$y^2$ – 3)(3 + $x^2$$y^2$).

= $x^4$$y^4$– 9.

THỬ THÁCH NHỎ

Câu hỏi: Xét biểu thức đại số với hai biến k và m sau:

P = (2k – 3)(3m – 2) – (3k – 2)(2m – 3).

a) Rút gọn biểu thức P.

b) Chứng minh rằng tại mọi giá trị nguyên của k và m, giá trị của biểu thức P luôn là một số nguyên chia hết cho 5.

Trả lời:

a) P = (2k – 3)(3m – 2) – (3k – 2)(2m – 3)

= (6km – 9m – 4k + 6) – (6km – 4m – 9k + 6)

= 6km – 9m – 4k + 6 – 6km + 4m + 9k – 6

= (6km – 6km) + (4m – 9m) + (9k – 4k) + (6 – 6) = 5k – 5m.

b) Ta thấy P = 5k – 5m = 5(k – m)

Vì 5 ⋮ 5 nên 5(k – m) ⋮ 5

Do đó, tại mọi giá trị nguyên của k và m, giá trị của biểu thức P luôn là một số nguyên chia hết cho 5.

BÀI TẬP

Bài 1.24:  Nhân hai đơn thức: 

a) 5$x^2$y và 2x$y^2$

b) $\frac{3}{4}$xy và 8$x^3$$y^2$

c) 1,5x$y^2$$z^3$ và 2$x^3$$y^2$z.

Trả lời:

a) 5$x^2$y và 2x$y^2$ = 10$x^3$$y^3$

b) $\frac{3}{4}$xy và 8$x^3$$y^2$ = 6$x^4$$y^3$

c) 1,5x$y^2$$z^3$ và 2$x^3$$y^2$z =  3$x^4$$y^3$$z^4$

Bài 1.25: Tìm tích của đơn thức với đa thức:

a) (−0,5)x$y^2$ (2xy – $x^2$ + 4y);

b) ($x^3$y - $\frac{1}{2}$$x^2$ + $\frac{1}{3}$xy)6x$y^3$

Trả lời:

a) (−0,5)x$y^2$ (2xy – $x^2$ + 4y)= −$x^2$$y^3$ + 0,5$x^2$$y^2$   − 2x$y^3$ 

b) ($x^3$y - $\frac{1}{2}$$x^2$ + $\frac{1}{3}$xy)6x$y^3$ = 6$x^4$$y^4$ −3$x^3$$y^3$+2$x^2$$y^4$

Bài 1.26:  Rút gọn biểu thức: x($x^2$ – y) – $x^2$(x + y) + xy(x – 1).

Trả lời:

x($x^2$ – y) – $x^2$(x + y) + xy(x – 1).

=  x . $x^2$ – x . y – $x^2$  . x – $x^2$ . y + xy . x – xy . 1

= –2xy.

Bài 1.27:  Làm tính nhân: 

a) ($x^2$ – xy + 1)(xy + 3);

b) ($x^2$$y^2$ - $\frac{1}{2}$xy+2)(x−2y)

Trả lời:

a) ($x^2$ – xy + 1)(xy + 3)= x3y – x2y2 – 2xy + 3x2 + 3.

b) ($x^2$$y^2$ - $\frac{1}{2}$xy+2)(x−2y)

= $x^3$$y^2$−$\frac{1}{2}$$x^2$y+2x−2$x^2$$y^3$+x$y^2$−4y

Bài 1.28: Rút gọn biểu thức sau để thấy rằng giá trị của nó không phụ thuộc vào giá trị của biến: (x – 5)(2x + 3) – 2x(x – 3) + x + 7.

Trả lời: 

Ta có (x – 5)(2x + 3) – 2x(x – 3) + x + 7

= x . 2x + x . 3 – 5 . 2x – 5 . 3 – 2x . x + 2x . 3 + x + 7

= 2$x^2$ + 3x – 10x – 15 – 2$x^2$ + 6x + x + 7

= (2$x^2$ – 2$x^2$) + (3x – 10x + 6x + x) + (7 – 15)

= –8.

Bài 1.29: Chứng minh đẳng thức sau: (2x + y)(2x2 + xy – y2) = (2x – y)(2x2 + 3xy + y2).

Trả lời: