MỞ ĐẦU
Câu hỏi: Cho B và C là hai điểm cách nhau bởi một hồ nước như Hình 4.12 với D, E lần lượt là trung điểm của AB và AC. Biết DE = 500 m, liệu không cần đo trực tiếp, ta có thể tính được khoảng cách giữa hai điểm B và C không?
Trả lời:
Trong tam giác ABC có D, E lần lượt là trung điểm của AB và AC nên D ∈ AB; E ∈ AC và AD = BD; AE = EC.
Suy ra DE là đường trung bình của tam giác ABC.
Do đó DE=$\frac{1}{2}$BC suy ra BC = 2DE = 2 . 500 = 1 000 (m)
Vậy khoảng cách giữa hai điểm B và C bằng 1 000 m.
1. ĐỊNH NGHĨA ĐƯỜNG TRUNG BÌNH CỦA TAM GIÁC
HÌNH THÀNH KIẾN THỨC MỚI
Câu hỏi 1: Em hãy chỉ ra các đường trung bình của ∆DEF và ∆IHK trong Hình 4.14.
Trả lời:
Quan sát Hình 4.14, ta thấy:
Xét ∆DEF có M là trung điểm của cạnh DE; N là trung điểm của cạnh DF nên MN là đường trung bình của ∆DEF.
Xét ∆IHK có:
B là trung điểm của cạnh IH; C là trung điểm của cạnh IK nên BC là đường trung bình của ∆IHK.
B là trung điểm của cạnh IH; A là trung điểm của cạnh HK nên AB là đường trung bình của ∆IHK.
A là trung điểm của cạnh HK; C là trung điểm của cạnh IK nên AC là đường trung bình của ∆IHK.
Vậy đường trung bình của ∆DEF là MN; các đường trung bình của ∆IHK là AB, BC, AC.
2. TÍNH CHẤT ĐƯỜNG TRUNG BÌNH CỦA TAM GIÁC
KHÁM PHÁ
Hoạt động 1: Cho DE là đường trung bình của tam giác ABC (H.4.15).
Sử dụng định lí Thalès đảo, chứng minh rằng DE // BC.
Trả lời:
Ta có DE là đường trung bình của tam giác ABC nên:
Hoạt động 2: Cho DE là đường trung bình của tam giác ABC (H.4.15).
Trả lời:
Xét tứ giác DEFB có DE // BF (vì DE // BC, theo HĐ1); EF // BD (vì EF // AB)
Do đó tứ giác DEFB là hình bình hành.
Suy ra DE = BF mà BF =$\frac{1}{2}$BC nên DE =$\frac{1}{2}$
BC.
Luyện tập:
Cho tam giác ABC cân tại A, D và E lần lượt là trung điểm của AB, AC. Tứ giác DECB là hình gì? Tại sao?
Trả lời:
Tam giác ABC cân tại A nên $\widehat{B}$=$\widehat{C}$
Vì D và E lần lượt là trung điểm của AB, AC nên DE là đường trung bình của tam giác ABC.
Suy ra DE // BC nên tứ giác DECB là hình thang.
Hình thang DECB có nên $\widehat{B}$=$\widehat{C}$ là hình thang cân.
Vận dụng
Em hãy trả lời câu hỏi trong tình huống mở đầu.
Cho B và C là hai điểm cách nhau bởi một hồ nước như Hình 4.12 với D, E lần lượt là trung điểm của AB và AC. Biết DE = 500 m, liệu không cần đo trực tiếp, ta có thể tính được khoảng cách giữa hai điểm B và C không?
Trả lời:
Trong tam giác ABC có D, E lần lượt là trung điểm của AB và AC nên D ∈ AB; E ∈ AC và AD = BD; AE = EC.
Suy ra DE là đường trung bình của tam giác ABC.
Do đó DE=$\frac{1}{2}$BC suy ra BC = 2DE = 2 . 500 = 1 000 (m)
BÀI TẬP
Bài 4.6: Tính các độ dài x, y trong Hình 4.18.
Trả lời:
Hình 4.18a)
Ta có: DH = HF, H ∈ DF nên H là trung điểm của DF;
EK = KF, K ∈ EF nên K là trung điểm của EF.
Xét tam giác DEF có H, K lần lượt là trung điểm của DF, EF nên HK là đường trung bình của tam giác DEF.
Suy ra HK=$\frac{1}{2}$DE=$\frac{1}{2}$x
Do đó x = 2HK = 2 . 3 = 6.
Hình 4.18b)
Vì MN ⊥ AB, AC ⊥ AB nên MN // AC.
Mà M là trung điểm của AB (vì AM = BM = 3)
Suy ra MN là đường trung bình của tam giác ABC.
Do đó N là trung điểm của BC nên y = NC = BN = 5.
Vậy x = 6; y = 5.
Bài 4.7: Cho tam giác ABC. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AC, BC.
a) Chứng minh tứ giác BMNC là hình thang.
b) Tứ giác MNPB là hình gì? Tại sao?
Trả lời:
a) Vì M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AC nên MN là đường trung bình của tam giác ABC suy ra MN // BC.
Tứ giác BMNC có MN // BC nên tứ giác BMNC là hình thang (đpcm).
b) Vì N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh AC, BC nên NP là đường trung bình của tam giác ABC suy ra NP // AB hay NP // MB.
Tứ giác MNPB có MN // BP (do MN // BC); BM // NP (chứng minh trên).
Do đó, tứ giác MNPB là hình bình hành.
Bài 4.8: Cho tam giác ABC có trung tuyến AM. Lấy điểm D và E trên cạnh AB sao cho AD = DE = EB và D nằm giữa hai điểm A, E.
a) Chứng minh DC // EM.
b) DC cắt AM tại I. Chứng minh I là trung điểm của AM.
Trả lời:
a) Vì AM là đường trung tuyến của tam giác ABC nên M là trung điểm của BC.
Ta có BE = DE và E ∈ BD nên E là trung điểm của BD.
Xét tam giác BCD có E, M lần lượt là trung điểm của BD, BC nên EM là đường trung bình của tam giác BCD.
Do đó DC // EM (tính chất đường trung bình).
b) Ta có D là trung điểm của AE (vì AD = DE, D ∈ AE).
Mà DI // EM (vì DC // EM).
Do đó DI là đường trung bình của tam giác AEM.
Suy ra I là trung điểm của AM.
Bài 4.9 : Cho hình chữ nhật ABCD có AC cắt BD tại O. Gọi H, K lần lượt là trung điểm của AB, AD. Chứng minh tứ giác AHOK là hình chữ nhật.
Trả lời:
Vì ABCD là hình chữ nhật nên $\widehat{BAD}$=$90^o$ và hai đường chéo AC, BD bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm O của mỗi đường.
Suy ra AB ⊥ AD; O là trung điểm của AC và BD.
Vì O, H lần lượt là trung điểm của BD và AB nên OH là đường trung bình của tam giác ABD.
Suy ra OH // AD mà AB ⊥ AD nên OH ⊥ AB hay $\widehat{AHO}$=$90^o$
Tương tự, ta chứng minh được: OK ⊥ AD hay $\widehat{AKO}$=$90^o$
Do đó, tứ giác AHOK là hình chữ nhật.
Bình luận