MỞ ĐẦU

Câu hỏi: Cắt một mảnh giấy hình thang cân bằng một nhát thẳng cắt cả hai cạnh đáy thì được hai hình thang. Lật một trong hai hình thang đó rồi ghép với hình thang còn lại dọc theo các cạnh bên của hình thang ban đầu (Hình 3.11). Hãy giải thích tại sao hình tạo thành cũng là một hình thang cân.

Trả lời:

Ta cắt một mảnh giấy hình thang cân bằng một nhát thẳng cắt cả hai cạnh đáy.

Lật một trong hai hình thang đó rồi ghép với hình thang còn lại dọc theo các cạnh bên của hình thang ban đầu nên

$\hat{AMN}$ = $\hat{M'}$  (1)

Tứ giác ABCD là hình thang cân có AB // CD

Mà theo cách ghép thì chỗ ghép ở các đỉnh M, B tạo thành đường thẳng AN’, chỗ ghép ở các đỉnh N, C tạo thành đường thẳng DM’. Do đó AN’ // M’D.

Suy ra $\hat{AMN}$ = $\hat{MNM'}$  (so le trong) (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\hat{MNM'}$ = $\hat{M'}$ 

Xét tứ giác MN’M’N có MN’ // M’N nên là hình thang.

Lại có $\hat{MNM'}$  = $\hat{M'}$ nên MN’M’N là hình thang cân.

1. HÌNH THANG CÂN

Luyện tập 1: Tính các góc của hình thang cân ABCD (AB // CD), $\hat{C}$ = $40^o$  (H.3.15).

Trả lời:

Hình thang cân ABCD (AB // CD) nên ta có:

$\hat{A}$ = $\hat{B}$;  $\hat{D}$ = $\hat{C}$ = $40^o$

$\hat{A}$ + $\hat{B}$ + $\hat{C}$ +  $\hat{D}$ = $360^o$

Khi đó: $\hat{A}$ + $\hat{A}$ + $40^o$ + $40^o$ = $360^o$

Hay 2$\hat{A}$ + $80^o$ = $360^o$

Suy ra: 2$\hat{A}$ = $360^o$ - $80^o$ = $280^o$

Do đó $\hat{A}$ = $140^o$ nên $\hat{B}$ =$140^o$

Vậy $\hat{A}$ = $140^o$, $\hat{B}$ =$140^o$,  $\hat{C}$ = $40^o$,  $\hat{D}$ = $40^o$

2. TÍNH CHẤT CỦA HÌNH THANG CÂN

Hoạt động 1:  Cho hình thang cân ABCD, AB // CD và AB < CD (H.3.16).

a) Từ A và B kẻ AH ⊥ DC, BI ⊥ DC, H ∈ CD, I ∈ CD. Chứng minh rằng AH = BI bằng cách chứng minh ∆AHI = ∆IBA.

b) Chứng minh ∆AHD = ∆BIC, từ đó suy ra AD = BC.

Trả lời:

a) Vì ABCD là hình thang cân (AB // CD) nên $\hat{BAI}$ = $\hat{AIH}$ (hai góc so le trong).

Ta có AH ⊥ DC, BI ⊥ DC suy ra AH // BI.

Do đó $\hat{AIB}$ = $\hat{HAI}$ (hai góc so le trong).

Xét ∆AHI và ∆IBA có:

$\hat{BAI}$ = $\hat{AIH}$ (chứng minh trên);

Cạnh AI chung;

$\hat{AIB}$ = $\hat{HAI}$  (hai góc so le trong).

Do đó ∆AHI = ∆IBA (c.g.c).

Suy ra AH = BI (hai cạnh tương ứng).

b) Vì ABCD là hình thang cân (AB // CD) nên $\hat{D}$ = $\hat{C}$ (1)

Xét ∆AHD vuông tại H có $\hat{DAH}$ + $\hat{D}$ = $90^o$ (2) (trong tam giác vuông, hai góc nhọn có tổng số đo bằng $90^o$).

Tương tự, ∆BIC vuông tại I có $\hat{CIB}$ + $\hat{C}$ = $90^o$ (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra $\hat{DAH}$ = $\hat{CBI}$

Xét ∆AHD và ∆BIC có:

$\hat{AHD}$ = $\hat{BIC}$ = $90^o$ (vì AH ⊥ DC, BI ⊥ DC, H ∈ CD, I ∈ CD);

AH = BI (chứng minh câu a);

$\hat{DAH}$ = $\hat{CBI}$  (chứng minh trên).

Do đó ∆AHD = ∆BIC (cạnh góc vuông – góc nhọn kề).

Suy ra AD = BC (hai cạnh tương ứng).

Luyện tập 2: Cho tứ giác ABCD như Hình 3.18. Biết rằng $\hat{A}$ = $\hat{B}$ = $\hat{D1}$ . Chứng minh rằng AD = BC.

Trả lời:

Ta có $\hat{A}$ = $\hat{D1}$ mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên AB // CD.

Suy ra tứ giác ABCD là hình thang.

Mặt khác hình thang ABCD có $\hat{A}$ = $\hat{B1}$

nên ABCD là hình thang cân.

Do đó AD = BC (đpcm).

Hoạt động 2: Cho hình thang cân ABCD, kẻ hai đường chéo AC, BD (H.3.19). Hãy chứng minh ∆ACD = ∆BDC. Từ đó suy ra AC = BD.

Trả lời:

Vì ABCD là hình thang cân (AB // CD) nên AD = BC;

$\hat{ADC}$ = $\hat{BCD}$

Xét ∆ACD và ∆BDC có

AD = BC (chứng minh trên);

$\hat{ADC}$ = $\hat{BCD}$ (chứng minh trên);

Cạnh CD chung.

Do đó ∆ACD = ∆BDC (c.g.c).

Suy ra AC = BD (hai góc tương ứng).

Luyện tập 3: Cho tam giác ABC cân tại A. Kẻ một đường thẳng d song song với BC, d cắt cạnh AB tại D và cắt cạnh AC tại E (H.3.20).

a) Tứ giác DECB là hình gì?

b) Chứng minh BE = CD.

Trả lời:

a) Theo đề bài: d // BC nên DE // BC

Suy ra DECB là hình thang.

Vì tam giác ABC cân tại A nên $\hat{B}$ = $\hat{C}$

Hình thang DECB có $\hat{B}$ = $\hat{C}$ nên là hình thang cân.

b) Hình thang cân DECB có BE và CD là hai đường chéo.

Do đó BE = CD (đpcm).

3. DẤU HIỆU NHẬN BIẾT

THỰC HÀNH

Câu hỏi: (H.3.22)

a) Vẽ hình thang có hai đường chéo bằng nhau theo các bước sau:

- Vẽ hai đường thẳng song song a, b. Trên a lấy hai điểm A, B.

- Vẽ hai cung tròn tâm A và B có cùng bán kính sao cho cung tròn tâm A cắt b tại C; cung tròn tâm B cắt b tại D và hai đoạn thẳng AC, BD cắt nhau. Hình thang ABCD có hai đường chéo AC và BD bằng nhau.

b) Hình thang ABCD có là hình thang cân không? Vì sao?

Trả lời:

b) Hình thang ABCD có hai đường chéo AC = BD.

Do đó ABCD là hình thang cân.

BÀI TẬP

Bài 3.4: Hình thang trong Hình 3.23 có là hình thang cân không? Vì sao?

Trả lời:

Do ABCD là hình thang có AB // CD nên ta có:

$\hat{A}$ + $\hat{D}$ = $180^o$

Suy ra $\hat{D}$ = $180^o$ - $120^o$ = $60^o$

Hình thang ABCD có $\hat{D}$ ≠ $\hat{C}$ (do 60° ≠ 80°) nên không phải là hình thang cân.

Bài 3.5:  Cho hình thang ABCD (AB // CD). Kẻ đường thẳng vuông góc với AC tại C và đường thẳng vuông góc với BD tại D, hai đường thẳng này cắt nhau tại E. Chứng minh rằng nếu EC = ED thì hình thang ABCD là hình thang cân.

Trả lời:

Gọi O là giao điểm của AC và BD.

Xét ∆DOE và ∆COE có:

$\hat{OED}$ = $\hat{OCE}$ = $90^o$ (vì OD ⊥ DE; OC ⊥ CE);

EC = ED (giả thiết);

Cạnh OE chung

Do đó ∆DOE = ∆COE (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

Suy ra OC = OD (hai cạnh tương ứng) (1)

Do đó tam giác OCD cân tại O nên $\hat{C1}$ = $\hat{D1}$ 

Vì ABCD là hình thang nên AB // CD suy ra

$\hat{A1}$ = $\hat{C1}$, $\hat{B1}$ = $\hat{D1}$  (cặp góc so le trong).

Do đó $\hat{A1}$ = $\hat{B1}$

Suy ra tam giác OAB cân tại O nên OA = OB (2)

Ta có: AC = OA + OC và BD = OB + OD (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra AC = BD

Hình thang ABCD có AC = BD nên ABCD là hình thang cân.

Bài 3.6: Vẽ hình thang cân ABCD (AB // CD) biết đáy lớn CD dài 4 cm, cạnh bên dài 2 cm và đường chéo dài 3 cm.

Trả lời:

Cách vẽ hình thang cân ABCD có đáy lớn CD dài 4 cm, cạnh bên dài 2 cm và đường chéo dài 3 cm:

Vẽ cạnh CD = 4 cm.

Dùng compa vẽ hai đường tròn (D; 2 cm) và (C; 3 cm). Hai đường tròn này cắt nhau tại điểm A.

Dùng compa vẽ hai đường tròn (D; 3 cm) và (C; 2 cm). Hai đường tròn này cắt nhau tại điểm B.

 Nối AB, AD, BC ta được hình thang cân ABCD (như hình vẽ).

Bài 3.7: Hai tia phân giác của hai góc A, B của hình thang cân ABCD (AB // CD) cắt nhau tại điểm E trên cạnh đáy CD. Chứng minh rằng EC = ED.

Trả lời:

Vì ABCD là hình thang cân nên

$\hat{DBA}$ = $\hat{ABC}$, $\hat{C}$ =  $\hat{D}$, AD=BC

Theo đề bài, ta có AE, BE lần lượt là tia phân giác của $\hat{BAD}$ và $\hat{ABC}$

Suy ra

Xét tam giác EAB cân tại E (vì $\hat{A1}$ = $\hat{B1}$) nên EA = EB.

Xét ∆ADE và ∆BCE có:

EA = EB (chứng minh trên);

$\hat{A2}$ = $\hat{B2}$ (chứng minh trên);

AD = BC (chứng minh trên)

Do đó ∆ADE = ∆BCE (c.g.c).

Suy ra EC = ED (hai cạnh tương ứng)

Bài 3.8: Hình thang cân ABCD (AB // CD, AB < CD) có các đường thẳng AD, BC cắt nhau tại I, các đường thẳng AC, BD cắt nhau tại J. Chứng minh rằng đường thẳng IJ là đường trung trực của đoạn thẳng AB.

Trả lời:

Vì ABCD là hình thang cân nên

$\hat{BAD}$ = $\hat{ABC}$, $\hat{ADC}$ = $\hat{BCD}$, AD = BC; AC = BD.

Xét DICD cân tại I (vì $\hat{ADC}$ = $\hat{BCD}$) nên IC = ID.

Suy ra IC – BC = ID – AD, hay IB = IA

Do đó I cách đều A và B nên I nằm trên đường trung trực của AB (1)

•Xét ∆ABD và ∆BAC có:

AB là cạnh chung;

$\hat{BAD}$ = $\hat{ABC}$ (chứng minh trên);

AD = BC (chứng minh trên).

Do đó ∆ABD = ∆BAC (c.g.c)

Suy ra $\hat{ABD}$ = $\hat{BAC}$ (hai góc tương ứng).

Tam giác JAB cân tại J (vì $\hat{ABD}$ = $\hat{BAC}$ ) nên JA = JB

Do đó J cách đều A và B nên J nằm trên đường trung trực của AB (2)

Từ (1) và (2) suy ra I, J cùng nằm trên đường thẳng IJ là đường trung trực của đoạn thẳng AB.