MỞ ĐẦU

Câu hỏi: Cây cầu AB bắc qua một con sông có chiều rộng 300 m. Để đo khoảng cách giữa hai điểm C và D trên hai bờ con sông, người ta chọn một điểm E trên đường thẳng AB sao cho ba điểm E, C, D thẳng hàng. Trên mặt đất, người ta đo được AE = 400 m, EC = 500 m. Theo em, người ta tính khoảng cách giữa C và D như thế nào?

Trả lời:

Sau bài học này ta giải quyết được bài toán như sau:

Hai cạnh AC và BD thuộc hai bờ của con sông nên AC // BD, áp dụng định lí Thalès, ta có:

$\frac{AE}{AB}$=$\frac{CE}{CD}$hay$\frac{400}{300}$=$\frac{500}{CD}$

Suy ra CD=$\frac{300.500}{400}$=375(m)

Vậy khoảng cách giữa C và D bằng 375 m.

1. ĐOẠN THẲNG TỈ LỆ

KHÁM PHÁ

Hoạt động 1: Cho Hình 4.2, em hãy thực hiện các hoạt động sau:

Hãy tìm độ dài của hai đoạn thẳng AB và CD nếu chọn đoạn MN làm đơn vị độ dài. Với các độ dài đó hãy tính tỉ số $\frac{AB}{CD}$

Trả lời:

Chọn đoạn MN làm đơn vị độ dài thì MN = 1 (đvđd).

Khi đó, AB = 2 (đvđd); CD = 6 (đvđd).

Do đó $\frac{AB}{CD}$=$\frac{2}{6}$=$\frac{1}{3}$.

Vậy AB = 2 (đvđd); CD = 6 (đvđd); $\frac{AB}{CD}$=$\frac{1}{3}$.

Hoạt động 2:  Cho Hình 4.2, em hãy thực hiện các hoạt động sau:

Trả lời:

Dùng thước thẳng, đo độ dài hai đoạn thẳng AB và CD (đơn vị: cm) rồi dùng kết quả vừa đo để tính tỉ số $\frac{AB}{CD}$

Hoạt động 3:  So sánh hai tỉ số tìm được trong hai hoạt động trên

Trả lời:

Tỉ số $\frac{AB}{CD}$  tìm được ở Hoạt động 1 và Hoạt động 2 bằng nhau và đều bằng $\frac{1}{3}$

Luyện tập 1: Tìm tỉ số của các đoạn thẳng có độ dài như sau:

a) MN = 3 cm và PQ = 9 cm.

b) EF = 25 cm và HK = 10 dm.

Trả lời:

a) Tỉ số của các đoạn thẳng được tính như sau: $\frac{MN}{PQ}$=$\frac{3}{9}$=$\frac{1}{3}$;$\frac{PQ}{MN}$=$\frac{9}{3}$=$\frac{3}{1}$.

Vậy $\frac{MN}{PQ}$=$\frac{1}{3}$;$\frac{PQ}{MN}$=$\frac{3}{1}$

b) Đổi 10 dm = 100 cm.

Tỉ số của các đoạn thẳng được tính như sau: $\frac{EF}{HK}$=$\frac{25}{10}$=$\frac{1}{4}$;$\frac{HK}{EF}$=$\frac{100}{25}$=$\frac{4}{1}$

Vậy $\frac{EF}{HK}$=$\frac{1}{3}$;$\frac{HK}{EF}$=$\frac{3}{1}$

Luyện tập 2: Cho tam giác ABC và một điểm B’ nằm trên cạnh AB. Qua điểm B’, ta vẽ một đường thẳng song song với BC, cắt AC tại C’ (H.4.4).

Dựa vào hình vẽ, hãy tính và so sánh các tỉ số sau và viết các tỉ lệ thức:

a) $\frac{AB'}{AB}$ và $\frac{AC'}{AC}$

b) $\frac{AB'}{B'B}$ và $\frac{AC'}{C'C}$

c) $\frac{B'B}{AB}$ và $\frac{C'C}{AC}$

Trả lời:

2. ĐỊNH LÍ THALÈS TRONG TAM GIÁC

Luyện tập 3: Tìm các độ dài x, y trong Hình 4.6.

Trả lời:

a) Áp dụng định lí Thalès vào ∆ABC, ta có:

$\frac{AM}{BM}$=$\frac{AN}{CN}$ hay $\frac{6,5}{x}$=$\frac{4}{2}$

Suy ra x=$\frac{6,5.2}{4}$=3,25(đvđd)

Vậy x = 3,25 (đvđd).

b) Ta có: PQ = PF + QF = 5 + 3,5 = 8,5 (đvđd).

Áp dụng định lí Thalès vào ∆PHQ, ta có:

$\frac{PE}{PH}$=$\frac{PF}{PQ}$ hay $\frac{4}{y}$=$\frac{5}{8,5}$

Suy ra y=$\frac{4.8,5}{5}$=6,8 (đvđd).

Vậy y = 6,8 (đvđd).

KHÁM PHÁ

Hoạt động 4: Cho ∆ABC có AB = 6 cm, AC = 9 cm. Trên cạnh AB lấy điểm B’, trên cạnh AC lấy điểm C’ sao cho AB’ = 4 cm, AC’ = 6 cm (H.4.7).

 So sánh các tỉ số $\frac{AB'}{AB}$ và $\frac{AC'}{AC}$ .

 Vẽ đường thẳng a đi qua B’ và song song với BC, đường thẳng qua a cắt AC tại điểm C’’. Tính độ dài đoạn thẳng AC’’.

 Nhận xét gì về hai điểm C’, C’’ và hai đường thẳng B’C’, BC?

Trả lời:

Vậy AC’’ = 6 cm.

 Trên cạnh AC lấy điểm C’ sao cho AC’ = 6 cm.

Đường thẳng a đi qua B’ và song song với BC, đường thẳng qua a cắt AC tại điểm C’’ nên điểm C’’ nằm trên cạnh AC sao cho AC’’ = 6 cm.

Do đó, hai điểm C’, C’’ trùng nhau.

Vì hai điểm C’, C’’ trùng nhau mà B’C’’ // BC nên B’C’ // BC.

Vận dụng: 

Em hãy trả lời câu hỏi trong tình huống mở đầu.

Cây cầu AB bắc qua một con sông có chiều rộng 300 m. Để đo khoảng cách giữa hai điểm C và D trên hai bờ con sông, người ta chọn một điểm E trên đường thẳng AB sao cho ba điểm E, C, D thẳng hàng. Trên mặt đất, người ta đo được AE = 400 m, EC = 500 m. Theo em, người ta tính khoảng cách giữa C và D như thế nào?

Trả lời:

Hai cạnh AC và BD thuộc hai bờ của con sông nên AC // BD, áp dụng định lí Thalès, ta có:

Vậy khoảng cách giữa C và D bằng 375 m.

BÀI TẬP

Bài 4.1 : Tìm độ dài x, y trong Hình 4.9 (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất).

Trả lời:

Suy ra 11y = 8(y + 6,5)

11y = 8y + 52

11y – 8y = 52

3y = 52y

y=$\frac{52}{3}$≈17,3(đvđd)

Vậy x ≈ 5,3 (đvđd); y ≈ 17,3 (đvđd).

Bài 4.2 : Tìm các cặp đường thẳng song song trong Hình 4.10 và giải thích tại sao chúng song song với nhau.

Trả lời:

Bài 4.3 : Cho ∆ABC, từ điểm D trên cạnh BC, kẻ đường thẳng song song với AB cắt AC tại F và kẻ đường thẳng song song với AC cắt AB tại E.

Chứng minh rằng: $\frac{AE}{AB}$+$\frac{AF}{AC}$=1

Trả lời:

Bài 4.4 : Cho ∆ABC có trọng tâm G. Vẽ đường thẳng d qua G và song song với AB, d cắt BC tại điểm M. Chứng minh rằng BM=$\frac{1}{3}$BC

Trả lời:

Lấy D là trung điểm của cạnh BC.

Khi đó, AD là đường trung tuyến của tam giác ABC.

Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên điểm G nằm trên cạnh AD.

Bài 4.5 : Để đo khoảng cách giữa hai vị trí B và E ở hai bên bờ sông, bác An chọn ba vị trí A, F, C cùng nằm ở một bên bờ sông sao cho ba điểm C, E, B thẳng hàng, ba điểm C, F, A thẳng hàng và AB // EF (H.4.11). Sau đó bác An đo được AF = 40 m, FC = 20 m, EC = 30 m. Hỏi khoảng cách giữa hai vị trí B và E bằng bao nhiêu?

Trả lời:

Theo đề bài, ba điểm C, E, B thẳng hàng, ba điểm C, F, A thẳng hàng và AB // EF, áp dụng định lí Thalès, ta có:

Vậy khoảng cách giữa hai vị trí B và E bằng 60 m.