MỞ ĐẦU

Câu hỏi: Tròn nói: Tớ biết cách tìm được tất cả số x để $2^2$ + x = 0.

Vuông thắc mắc: Tròn làm như thế nào nhỉ?

Trả lời:

Sau bài học này ta giải quyết được bài toán như sau:

Để tìm x thỏa mãn $2^2$ + x = 0 thì Tròn cần phân tích đa thức $2^2$ + x thành nhân tử.

Ta có: $2^2$ + x = x(2x + 1) (phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách đặt nhân tử chung).

Khi đó x(2x + 1) = 0

x = 0 hoặc 2x + 1 = 0

x = 0 hoặc x = -$\frac{1}{2}$

Vậy x∈.

1. PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ BẰNG CÁCH ĐẶT NHÂN TỬ CHUNG

Hoạt động 1: Hãy viết đa thức $x^2$ – 2xy thành tích của các đa thức, khác đa thức là số.

Trả lời:

Áp dụng tính chất phân phối giữa phép nhân với phép cộng, ta viết đa thức $x^2$ – 2xy thành tích của các đa thức như sau:

$x^2$ – 2xy = x.x – x.2y = x(x – 2y).

Luyện tập 1:  Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) $6y^3$ + 2y;

b) 4(x – y) – 3x(x – y).

Trả lời:

a) $6y^3$ + 2y = 2y($3y^2$+ 1);

b) 4(x – y) – 3x(x – y) = (x – y)(4 – 3x).

Vận dụng 1: Giải bài toán mở đầu bằng cách phân tích $2x^2$ + x thành nhân tử.

Trả lời:

Để tìm x thỏa mãn $2x^2$ + x = 0 thì Tròn cần phân tích đa thức $2x^2$ + x thành nhân tử.

Ta có: $2x^2$+ x = x(2x + 1) (phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách đặt nhân tử chung).

Khi đó x(2x + 1) = 0

x = 0 hoặc 2x + 1 = 0

x = 0 hoặc x = -$\frac{1}{2}$

Vậy x∈.

2. PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ BẰNG CÁCH SỬ DỤNG HẰNG ĐẲNG THỨC

Luyện tập 2: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) $(x+1)^2$ – $y^2$;

b) $x^3$ + $3x^2$ + 3x + 1;

c) $8x^3$ – $12x^2$ + 6x – 1.

Trả lời:

a)  $(x+1)^2$ – $y^2$ = (x + 1 + y)(x + 1– y);

b) $x^3$ + $3x^2$ + 3x + 1 = $x^3$  + 3 . $x^2$ . 1 + 3x . $1^2$ + $1^3$ =$(x+1)^3$  ;

c) $8x^3$ – $8x^3$ + 6x – 1 = $(2x)^3$– 3. $(2x)^2$. 1 + 3 . 2x . $1^2$ – $1^3$  =$(2x-1)^3$ .

3. PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ BẰNG CÁCH NHÓM CÁC HẠNG TỬ

Luyện tập 3: Phân tích đa thức $2x^2$ – 4xy + 2y – x thành nhân tử.

Trả lời: 

Ta phân tích đa thức $2x^2$ – 4xy + 2y – x thành nhân tử như sau:

Cách 1:

$2x^2$ – 4xy + 2y – x

= ($2x^2$– 4xy) + (2y – x)

= 2x(x – 2y) – (x – 2y)

= (x – 2y)(2x – 1).

Cách 2:

$2x^2$ – 4xy + 2y – x

= ($2x^2$ – x) – (4xy – 2y)

= x(2x – 1) – 2y(2x – 1)

= (2x – 1)(x – 2y).

Vận dụng 2: Tính nhanh giá trị của biểu thức

A = $2x^2$+ 2y – 2x – xy tại x = 2022, y = 2020.

Trả lời:

Ta có thể phân tích đa thức A thành nhân tử theo 2 cách như sau:

Cách 1:

Ta có A = $2x^2$+ 2y – 2x – xy = ($2x^2$ – 2x) + (2y – xy)

= x(x – 2) + y(2 – x) = x(x – 2) – y(x – 2)

= (x – 2)(x – y).

Cách 2:

Ta có A = $2x^2$ + 2y – 2x – xy = ($2x^2$ – xy) – (2x – 2y)

= x(x – y) – 2(x – y) = (x – y)(x – 2).

Thay x = 2022, y = 2020 vào biểu thức A, ta được:

(2022 – 2)(2022 – 2020) = 2020 . 2 = 4040.

Tranh luận: Phân tích đa thức  $x^3$ – x thành nhân tử.

Em hãy nêu ý kiến của em về lời giải của Tròn và Vuông.

Trả lời: 

Bạn Vuông phân tích đa thức đã cho thành tích của hai đa thức, tuy nhiên đa thức trong ngoặc còn có thể phân tích tiếp được.

Bạn Tròn phân tích đa thức thành các nhân tử, trong đó mỗi nhân tử không phân tích tiếp được nữa.

BÀI TẬP

Bài 2.22:  Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a)$x^2$  + xy;

b)  $6a^2b$– 18ab;

c) $x^3$ – 4x;

d) $x^4$ – 8x.

Trả lời; 

a) $x^2$+ xy = x(x + y);

b) $6a^2b$ – 18ab = 6ab(a – 3);

c) $x^3$– 4x = x($x^2$ – 4) = x(x + 2)(x – 2);

d) $x^4$ – 8x = x($x^3$ – 8) = x($x^3$– $2^3$)

= x(x – 2)($x^2$ + 2x + $2^2$)

= x(x – 2)($x^2$ + 2x + 4).

Bài 2.23 : Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) $x^2$ – 9 + xy + 3y;

b) $x^2y$ + $x^2$ + xy – 1.

Trả lời:

a) $x^2$ – 9 + xy + 3y = ($x^2$ – 9) + (xy + 3y)

= (x + 3)(x – 3) + y(x + 3)

= (x + 3)(x + y – 3).

b) $x^2y$ + $x^2$ + xy – 1 = ( $x^2y$+ xy) + ($x^2$ – 1)

= xy(x + 1) + (x + 1)(x – 1) = (x + 1)(xy + x – 1).

Bài 2.24: Tìm x, biết:

a) $x^2$ – 4x = 0;

b) $2x^3$ – 2x = 0.

Trả lời

a) $x^2$ – 4x = 0

x(x – 4) = 0

x = 0 hoặc x – 4 = 0

x = 0 hoặc x = 4.

Vậy x ∈ {0; 4}.

b)  $2x^3$ – 2x = 0

2x( $x^2$– 1) = 0

2x(x + 1)(x – 1) = 0

x = 0 hoặc x + 1 = 0 hoặc x – 1 = 0

x = 0 hoặc x = – 1 hoặc x = 1.

Vậy x ∈ {– 1; 0; 1}.

Bài 2.25: Một mảnh vườn hình vuông có độ dài cạnh bằng x (mét). Người ta làm đường đi xung quanh mảnh vườn, có độ rộng như nhau và bằng y (mét) (H.2.2).

a) Viết biểu thức tính diện tích S của đường bao quanh mảnh vườn theo x và y.

b) Phân tích S thành nhân tử rồi tính S khi x = 102 m, y = 2 m.

Trả lời:

a) Đặt tên các điểm A, B, C, D, M, N, P, Q như hình vẽ.

Diện tích hình vuông ABCD là: $x^2$ (m).

Hình vuông MNPQ có độ dài một cạnh là: x – y – y = x – 2y (m).

Diện tích hình vuông MNPQ là: $(x-2y)^2$ ($m^2$).

Diện tích S của đường bao quanh mảnh vườn là:

S = $x^2$ – $(x-2y)^2$  = $x^2$ – ($x^2$– 4xy + $4y^2$)

=$x^2$ – $x^2$ + 4xy – 4y2 = 4xy – 4$y^2$ ($m^2$)

Vậy diện tích S của đường bao quanh mảnh vườn là 4xy – 4$y^2$ ($m^2$)

b) Phân tích đa thức S thành nhân tử, ta được:

S = 4xy – 4$y^2$ = 4y(x – y).

Thay x = 102 m, y = 2 m vào biểu thức S, ta được:

S = 4 . 2 . (102 – 2) = 8 . 100 = 800 ($m^2$).