MỞ ĐẦU

Câu hỏi: Cắt bốn tứ giác như nhau bằng giấy rồi đánh số bốn góc của mỗi tứ giác như tứ giác ABCD trong Hình 3.1a. Ghép bốn tứ giác giấy đó để được hình như Hình 3.1b.

Em có thể ghép bốn tứ giác khít nhau như vậy không?

Em có nhận xét gì về bốn góc tại điểm chung của bốn tứ giác? Hãy cho biết tổng số đo của bốn góc đó.

Trả lời:

Em cắt bốn tứ giác như nhau bằng giấy rồi thực hiện các bước theo yêu cầu bài toán.

Ta có thể ghép bốn tứ giác khít nhau như Hình 3.1b.

- Nhận xét: Bốn góc tại điểm chung của bốn tứ giác được ghép khít nhau.

Khi đó: $\hat{A}$ + $\hat{B}$ + $\hat{C}$ + $\hat{D}$ = $360^o$

1. TỨ GIÁC LỒI

Câu hỏi: Cho bốn điểm E, F, G, H (Hình 3.3). Kể tên một tứ giác có các đỉnh là bốn điểm đã cho.

Trả lời:

Nối EG, GF, FH, HE, ta được tứ giác EGFH như hình vẽ.

Luyện tập 1: Quan sát tứ giác ABCD trong Hình 3.4.

Hai đỉnh không cùng thuộc một cạnh gọi là hai đỉnh đối nhau. Đoạn thẳng nối hai đỉnh đối nhau là một đường chéo, chẳng hạn AC là một đường chéo. Kể tên đường chéo còn lại.

Cặp cạnh AB, CD là cặp cạnh đối. Chỉ ra cặp cạnh đối còn lại.

Cặp góc A, C là cặp góc đối. Hãy kể tên cặp góc đối còn lại.

Trả lời:

 Đường chéo còn lại của tứ giác ABCD là BD.

Cặp cạnh đối còn lại của tứ giác ABCD là cặp cạnh AD và BC.

Cặp góc đối còn lại của tứ giác ABCD là cặp góc B và D.

2. TỔNG CÁC GÓC CỦA MỘT TỨ GIÁC

KHÁM PHÁ

Hoạt động: Cho tứ giác ABCD. Kẻ đường chéo BD (H.3.5). Vận dụng định lí về tổng ba góc trong một tam giác đối với tam giác ABD và CBD, tính tổng $\hat{A}$ + $\hat{B}$ + $\hat{C}$ + $\hat{D}$  của tứ giác ABCD.

Trả lời:

Áp dụng định lí về tổng ba góc trong một tam giác đối với tam giác ABD và CBD, ta có:

$\hat{A}$ + $\hat{B1}$ + $\hat{D1}$= $180^o$

 $\hat{C}$ + $\hat{B2}$ + $\hat{D2}$= $180^o$

Khi đó, tứ giác ABCD có:

$\hat{A}$ + $\hat{B}$ + $\hat{C}$ + $\hat{D}$ = $\hat{A}$ + $\hat{B1}$ + $\hat{D1}$ +  $\hat{C}$ + $\hat{B2}$ + $\hat{D2}$ = $180^o$

Vậy $\hat{A}$ + $\hat{B}$ + $\hat{C}$ + $\hat{D}$ = $360^o$

Luyện tập 2: Cho tứ giác EFGH như Hình 3.7. Hãy tính góc F.

Trả lời:

Xét tứ giác EFGH có:

 $\hat{E}$ +  $\hat{F}$ +  $\hat{G}$ +  $\hat{H}$ (định lí tổng các góc trong một tứ giác).

Hay $90^o$ +  $\hat{F}$ + $90^o$ + $55^o$ 

Suy ra $\hat{F}$ + $235^o$ = $360^o$

Do đó $\hat{F}$ = $125^o$

Vậy $\hat{F}$ = $125^o$

THỬ THÁCH

Câu hỏi: Trong một tứ giác, hỏi số góc tù nhiều nhất là bao nhiêu và số góc nhọn nhiều nhất là bao nhiêu? Vì sao?

Trả lời:

• Nếu 4 góc trong tứ giác đều nhọn (mỗi góc nhỏ hơn $90^o$).

Khi đó, tổng 4 góc nhỏ hơn: 4.$90^o$ =  $360^o$ (vô lí vì tổng 4 góc trong tứ giác bằng  $360^o$).

• Nếu tứ giác có 3 góc nhọn(nhỏ hơn $90^o$); 1 góc tù (góc lớn hơn  $90^o$).

Khi đó, tổng 3 góc nhọn nhỏ hơn: 3.$90^o$ = $270^o$;

Số đo góc còn lại lớn hơn: $360^o$ – $270^o$ = $90^o$ (thỏa mãn).

Do đó,một tứ giác có thể có nhiều nhất 3 góc nhọn.

• Nếu 4 góc tứ giác đều tù(mỗi góc lớn hơn $90^o$).

Khi đó, tổng 4 góc lớn hơn: 4.$90^o$ = $360^o$ (vô lí vì tổng 4 góc trong một tứ giác bằng 360o).

• Nếu tứ giác có 3 góc tù và 1 góc nhọn.

Tổng 3 góc tù lớn hơn: 3.$90^o$ = $270^o$;

Số đo góc còn lại của tứ giác nhỏ hơn: $360^o$ – $270^o$ = $90^o$ (thỏa mãn).

Do đó,một tứ giác có thể có nhiều nhất 3 góc tù.

Vậymột tứ giác có thể có nhiều nhất 3 góc nhọn; một tứ giác có thể có nhiều nhất 3 góc tù.

BÀI TẬP

Bài 3.1: Tính góc chưa biết của các tứ giác trong Hình 3.8.

Trả lời:

• Hình 3.8a)

Xét tứ giác ABCD có:  

Vậy $\hat{A}$ + $\hat{B}$ + $\hat{C}$ + $\hat{D}$ = $360^o$

Hay $90^o$ + $90^o$ + $\hat{C}$ + $90^o$ = $360^o$

Khi đó: $\hat{C}$ + $2700^o$ = $360^o$

Do đó $\hat{C}$  = $360^o$ -  $2700^o$ = $90^o$

• Hình 3.8b)

Bài 3.2: Tính góc chưa biết của tứ giác trong Hình 3.9. Biết rằng $\hat{H}$ = $\hat{E}$ + $10^o$

Trả lời:

Áp dụng định lí tổng bốn góc trong một tứ giác vào tứ giác HEFG, ta có:

Bài 3.3: 

a) Chứng minh rằng AC là đường trung trực của đoạn thẳng BD.

b) Tính các góc B, D biết rằng $\hat{A}$ = $100^o$ $\hat{C}$ = $60^o$

Trả lời:

a) Nối AC, BD (như hình vẽ).

Ta có AB = AD hay hai điểm A cách đều hai đầu mút B và D;

CB = CD hay hai điểm C cách đều hai đầu mút B và D;

Do đó, hai điểm A và C cách đều hai đầu mút B và D.

Vậy AC là đường trung trực của đoạn thẳng BD.

b) Gọi I là giao điểm của AC và BD.

Vì AC là đường trung trực của đoạn thẳng BD nên AC ⊥ BD.

• Xét tam giác ABD cân tại A (vì AB = AD) có AI là đường cao (vì AI ⊥ BD)

Nên AI cũng là tia phân giác của $\hat{BAD}$  hay $\hat{A1}$ = $\hat{A2}$

Suy ra $\hat{A1}$ = $\hat{A2}$ = $\hat{\frac{BAD}{2}}$ = $\hat{\frac{100^o}{2}}$ = $50^o$

• Xét tam giác BCD cân tại C (vì BC = CD) có CI là đường cao (vì AC ⊥ BD)

Nên CI cũng là tia phân giác của $\hat{BCD}$ hay $\hat{C1}$=$\hat{C2}$

Suy ra $\hat{C1}$=$\hat{C2}$=$30^o$