MỞ ĐẦU

Bài toán: Một nhóm thiện nguyện chuẩn bị y phần quà giúp đỡ những gia đình có hoàn cảnh khó khăn. Mỗi phần quà gồm x kg bao gạo và x gói mì ăn liền. Viết biểu thức biểu thị giá trị bằng tiền (nghìn đồng) của toàn bộ số quà đó, biết 12 nghìn đồng/kg gạo; 4,5 nghìn đồng/gói mì ăn liền.

Hai bạn Tròn và Vuông lập luận như sau:

Bạn Vuông lập luận: Tổng số gạo trong y phần quà trị giá 12xy (nghìn đồng); tổng số gói mì ăn liền trong y phần quà trị giá 4,5xy (nghìn đồng). Vậy biểu thức cần tìm là 12xy + 4,5xy.

Bạn Tròn lập luận: Mỗi phần quà trị giá 12x + 4,5x = 16,5x (nghìn đồng). Do đó, y phần quà trị giá 16,5xy (nghìn đồng). Vậy biểu thức cần tìm là 16,5xy.

Theo em, bạn nào giải đúng?

Trả lời:

Với giá tiền 12 nghìn đồng/kg gạo thì x bao gạo có giá 12x (nghìn đồng);

Với giá tiền 4,5 nghìn đồng/gói mì ăn liền thì x gói mì ăn liền có giá 4,5x (nghìn đồng).

Giá trị của mỗi phần quà là: 12x + 4,5x (nghìn đồng)

Giá trị của y phần quà là: (12x + 4,5x) . y = 12xy + 4,5xy = 16,5xy (nghìn đồng).

Vậy cách giải của hai bạn đều đúng.

1. ĐƠN THỨC VÀ ĐƠN THỨC THU GỌN

KHÁM PHÁ

Hoạt động 1: Biểu thức $x^2$ – 2x có phải là đơn thức một biến không? Vì sao? Hãy cho một vài ví dụ về đơn thức một biến.

Trả lời:

Đơn thức một biến là biểu thức đại số có dạng tích của một số thực với một lũy thừa của biến.

Biểu thức x2 – 2x không phải là đơn thức một biến vì biểu thức này có chứa phép trừ và ta không thể thực hiện phép trừ này như các số cụ thể.

Một số ví dụ về đơn thức một biến: $\frac{2}{5}$$x^2$y, 2x$y^3$, -5$x^2$$y^2$

Hoạt động 2:  Xét các biểu thức đại số:−5$x^2$y, $x^3$ - $\frac{1}{2}$x, 17$z^4$, -$\frac{1}{5}$$y^2$5, -2x+7y, xy4$x^2$, x+2y-z

Hãy sắp xếp các biểu thức đó thành hai nhóm:

Nhóm 1: Những biểu thức có chứa phép cộng hoặc phép trừ.

Nhóm 2: Các biểu thức còn lại.

Nếu hiểu đơn thức (nhiều biến) tương tự đơn thức một biến thì theo em, nhóm nào trong hai nhóm trên bao gồm những đơn thức?

Trả lời:

Ta sắp xếp các biểu thức đó thành hai nhóm như sau:

Nhóm 1: Những biểu thức có chứa phép cộng hoặc phép trừ.

$x^3$ - $\frac{1}{2}$x, -2x+7y, x+2y-z

Nhóm 2: Các biểu thức còn lại.

−5$x^2$y, 17$z^4$, -$\frac{1}{5}$$y^2$5,  xy4$x^2$

Luyện tập 1: Trong các biểu thức sau đây, biểu thức nào là đơn thức?

3$x^3$y, -4, (3-x)$x^2$$y^2$, 12$x^5$, -$\frac{5}{9}$xyz, $\frac{$x^2$y}{2}$, $\frac{3}{x}$ + $y^2$

Trả lời:

Các biểu thức là đơn thức gồm: 3$x^3$y, -4, 12$x^5$, -$\frac{5}{9}$xyz,$\frac{$x^2$y}{2}$

TRANH LUẬN

Câu hỏi: Bạn Pi đặt câu hỏi: Biểu thức (1+$\sqrt{2}$)$x^2$y có phải là đơn thức không?

Bạn Tròn trả lời: Mình nghĩ là đúng, đó là một đơn thức.

Bạn Vuông cho rằng: Mình nghĩ không phải, bởi vì trong đó có phép cộng.

Còn em nghĩ sao?

Trả lời:

Vì giá trị của 1+$\sqrt{2}$ là một số thực nên biểu thức (1+$\sqrt{2}$)$x^2$y là tích của số thực với các biến.

Do đó, biểu thức (1+$\sqrt{2}$)$x^2$y là đơn thức.

CÂU HỎI

Câu hỏi: Cho biết hệ số, phần biến và bậc của đơn thức sau:

2,5x; -$\frac{1}{4}$$y^2$$z^3$; 0 ; 0,35x$y^2$$z^4$

Trả lời:

• Đơn thức 2,5x có hệ số là 2,5; phần biến là x và bậc là 1

• Đơn thức -$\frac{1}{4}$$y^2$$z^3$ có hệ số là $\frac{1}{4}$ ; phần biến là $y^2$$z^3$ và bậc là 5;

• Đơn thức 0,35x$y^2$$z^4$ có hệ số là 0,35; phần biến là x$y^2$$z^4$ và bậc là 7.

Luyện tập 2: Thu gọn và xác định bậc của đơn thức 4,5$x^2$y(-2)xyz

Trả lời:

Thu gọn đơn thức, ta được: 

4,5$x^2$y(-2)xyz = [4,5 . (-2)}($x^2$ . x )(y . y)z=-9$x^3$$y^2$z

Đơn thức −9$x^3$$y^2$z có bậc là 6 nên đơn thức đã cho có bậc là 6.

2. ĐƠN THỨC ĐỒNG DẠNG

KHÁM PHÁ

Hoạt động 3:  Cho đơn thức một biến M = 3$x^2$. Hãy viết ba đơn thức biến x, cùng bậc với M rồi so sánh phần biến của các đơn thức đó.

Trả lời:

Ta có thể viết được nhiều đơn thức biến x, cùng bậc với đơn thức 3$x^2$

Chẳng hạn: 5$x^2$, $\frac{3}{7}$$x^2$, -4$x^2$

So sánh phần biến của các đơn thức trên, ta thấy các đơn thức có cùng phần biến là $x^2$

Hoạt động 4: Xét ba đơn thức A = 2$x^2$$y^2$, B=-$\frac{1}{2}$$x^2$$y^3$ và C= $x^3$$y^2$. 

So sánh:

a) Bậc của ba đơn thức A, B và C;

b) Phần biến của ba đơn thức A, B và C.

Trả lời:

a) Ba đơn thức A, B và C đều có bậc là 5.

Do đó bậc của ba đơn thức A, B và C bằng nhau.

b) Hai đơn thức A và B đều có phần biến là  còn đơn thức C có phần biến là $x^2$$y^3$ còn đơn thức C có phần biến là $x^3$$y^2$. 

Luyện tập 3: Cho đơn thức:

$\frac{5}{3}$$x^2$y, -x$y^2$, 0,5$x^4$, -2x$y^2$, 2,75$x^4$, -$\frac{1}{4}$$x^2$y, 3x$y^2$. Hãy sắp xếp các đơn thức đã cho thành từng nhóm, sao cho tất cả các đơn thức đồng dạng thì thuộc cùng một nhóm.

Trả lời:

Sắp xếp các đơn thức đã cho thành từng nhóm, ta được:

• Nhóm 1: -x$y^2$, -2x$y^2$, 3x$y^2$

• Nhóm 2: 0,5$x^4$, 2,75$x^4$

• Nhóm 3: $\frac{5}{3}$$x^2$y, -$\frac{1}{4}$$x^2$y

Hoạt động 5: Quan sát các ví dụ sau:

2,5 . $3^2$ . $5^3$ + 8,5 . $3^2$ . $5^3$ = (2,5 + 8,5) . $3^2$ . $5^3$ = 11 . $3^2$ . $5^3$.

Trong ví dụ này, ta đã vận dụng tính chất gì của phép nhân để thu gọn tổng ban đầu?

Trả lời:

Trong ví dụ này, ta đã vận dụng tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng để thu gọn tổng ban đầu.

Hoạt đọng 6: Cho hai đơn thức đồng dạng M = 2,5$x^2$$y^3$ và P = 8,5$x^2$$y^3$. Tương tự HĐ5, hãy:

a) Thu gọn tổng M + P;

b) Thu gọn hiệu M – P.

Trả lời:

a) Ta có M + P = 2,5$x^2$$y^3$ + 8,5$x^2$$y^3$ = (2,5 + 8,5)$x^2$$y^3$ = 11$x^2$$y^3$;

b) Ta có M – P = 2,5$x^2$$y^3$ – 8,5$x^2$$y^3$ = (2,5 – 8,5)$x^2$$y^3$ = –$6x^2$$y^3$.

Luyện tập 4: Cho các đơn thức –$x^3$y; $4x^3$y và –2$x^3$y.

a) Tính tổng S của ba đơn thức đó.

b) Tính giá trị của tổng S tại x = 2; y = –3.

Trả lời:

a) Ta có S = –$x^3$y +$4x^3$y +(–2$x^3y).  = (–1 + 4 – 2)$x^3$y = $x^3$y.

b) Thay x = 2; y = –3 vào biểu thức S, ta được:

$2^3$ . (–3) = 8 . (–3) = –24.

Vậy S = –24 tại x = 2; y = –3.

BÀI TẬP

Bài 1.1: Trong các biểu thức sau, biểu thức nào là đơn thức?

-x, (1+x)$y^2$, (3+$\sqrt{3}$)xy, 0,  $\frac{1}{y}$$x^2$, 2$\sqrt{xy}$ 

Trả lời:

Các biểu thức là đơn thức gồm -x, (3+$\sqrt{3}$)xy, 0

Bài 1.2: Cho các đơn thức:

A=4x(-2)$x^2$

B=12,75xyz

C=(1+2.4,5)$x^2$y$\frac{1}{5}$$y^3$

D= (2-$\sqrt{5}$)x

a) Liệt kê các đơn thức thu gọn trong các đơn thức đã cho và thu gọn các đơn thức còn lại.

b) Với mỗi đơn thức nhận được, hãy cho biết hệ số, phần biến và bậc của nó.

Trả lời:

a) Các đơn thức B và D là đơn thức đã thu gọn.

Ta thu gọn đơn thức A và C như sau:

A=4x(-2)$x^2$=-8$x^3$y

C=(1+2.4,5)$x^2$y$\frac{1}{5}$$y^3$=(10.$\frac{1}{5}$)$x^2$($y^3$.y)= 2$x^3$$y^4$

b) Đơn thức A = −$8x^3$y có hệ số là −8; phần biến là $x^3$y và bậc là 4;

Đơn thức B = 12,75xyz có hệ số là 12,75; phần biến là xyz và bậc là 3;

Đơn thức C = 2$x^2$$y^4$ có hệ số là 2; phần biến là $x^2$$y^4$ và bậc là 6;

Đơn thức D= (2-$\sqrt{5}$)x có hệ số là  (2-$\sqrt{5}$) phần biến là x và bậc là 1.

Bài 1.3: Thu gọn rồi tính giá trị của mỗi đơn thức sau:

a) A= (-2)$x^2$y$\frac{1}{2}$xy khi x= -2 y=$\frac{1}{2}$

b) B = xyz(−0,5)$y^2$z khi x = 4; y = 0,5; z = 2.

Trả lời:

a. A=(-2)$x^2$y$\frac{1}{2}$xy= ((-2).$\frac{1}{2}$)($x^2$.x)(y.y) = -$x^3$4y^2$

Thay x=−2;y=$\frac{1}{2}$ vào biểu thức A, ta được:

(-2^3$) . ($\frac{1}{2}$) = 8 . $\frac{1}{4}$ = 2

b) Ta có B = xyz(−0,5)$y^2$z = (−0,5) x (y . $y^2$)(z . z) = −0,5x$y^3$$z^2$.

Thay x = ; y = 0,5; z = 2 vào biểu thức B, ta được:

B = (−0,5) . 4 . $(0,5)^3$ . $2^2$ = −2 . 0,125 . 4 = −0,25 . 4 = −1.

Bài 1.4:  Sắp xếp các đơn thức sau thành từng nhóm, mỗi nhóm chứa tất cả các đơn thức đồng dạng với nhau:

3$x^3$$y^2$; -0,2$x^2$$y^3$; 7$x^3$$y^2$; -4y;  $\frac{3}{4}$$x^2$$y^3$; y$\sqrt{2}$

Trả lời:

Sắp xếp các đơn thức sau thành từng nhóm các đơn thức đồng dạng như sau:

Nhóm 1: 3$x^3$$y^2$, 7$x^3$$y^2$

Nhóm 2:  -0,2$x^2$$y^3$; $\frac{3}{4}$$x^2$$y^3$

Nhóm 3: -4y; y$\sqrt{2}$

Bài 1.5: Rút gọn rồi tính giá trị biểu thức:

S= $\frac{1}{2}$$x^2$$y^5$-$\frac{5}{2}$$x^2$$y^5$ khi x = −2 và y = 1.

Trả lời:

Ta có S= $\frac{1}{2}$$x^2$$y^5$-$\frac{5}{2}$$x^2$$y^5$=-2$x^24$y^5$

Thay x = −2 và y = 1 vào biểu thức S, ta được:

S = (−2) . $(−2)^2$ . $1^5$ = (−2) . 4 . 1 = −8.

Bài 1.6:  Tính tổng của bốn đơn thức:

Trả lời:

Bài 1.7: Một mảnh đất có dạng như phần được tô màu xanh trong hình bên cùng với các kích thước (tính bằng mét) được ghi trên đó. Hãy tìm đơn thức (thu gọn) với hai biến x và y biểu thị diện tích của mảnh đất đã cho bằng hai cách:

Cách 1. Tính tổng diện tích của hai hình chữ nhật ABCD và EFGC.

Cách 2. Lấy diện tích của hình chữ nhật HFGD trừ đi diện tích của hình chữ nhật HEBA.

Trả lời:

Cách 1.Tính tổng diện tích của hai hình chữ nhật ABCD và EFGC.

Diện tích hình chữ nhật ABCD là: 2x . 2y = 4xy (đvdt);

Diện tích hình chữ nhật EFGC là: 3x . y = 3xy (đvdt);

Diện tích mảnh đất tô màu xanh là: 4xy + 3xy = 7xy (đvdt).

Cách 2. Lấy diện tích của hình chữ nhật HFGD trừ đi diện tích của hình chữ nhật HEBA.

Diện tích hình chữ nhật HFGD là: 3x(2y + y) = 3x . 3y = 9xy (đvdt);

Diện tích hình chữ nhật HEBA là: (3x – 2x) . 2y = x . 2y = 2xy (đvdt);

Diện tích mảnh đất tô màu xanh là: 9xy – 2xy = 7xy (đvdt).