MỞ ĐẦU

Câu hỏi: Hai thanh tre thẳng dàibằng nhau, được gắn với nhau tại trung điểm của mỗi thanh. Khi các đầu mút của hai thanh tre đó tạo thành bốn đỉnh của một tứ giác (H.3.40) thì tứ giác đó là hình gì? Tại sao?

Trả lời:

Hai đầu mút của hai thanh tre tạo thành bốn đỉnh của tứ giác.

Tứ giác đó có hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên tứ giác đó là hình chữ nhật.

Vậy khi các đầu mút của hai thanh tre đó tạo thành bốn đỉnh của một tứ giác thì tứ giác đó là hình chữ nhật.

1. HÌNH CHỮ NHẬT

KHÁM PHÁ

Hoạt động 1: Trong các hình dưới đây, hình nào là hình chữ nhật? Tại sao?

Trả lời:

Tứ giác ABCD trong Hình 3.41b là hình chữ nhật vì có

 $\widehat{A}$= $\widehat{B}$= $\widehat{C}$= $\widehat{D}$=$90^o$

Tứ giác ABCD trong Hình 3.41a và Hình 3.41c không phải là hình chữ nhật vì không có 4 góc vuông.

Hoạt động 2: Hình chữ nhật có là hình bình hành không, có là hình thang cân không? Tại sao?

Trả lời:

Ta đặt hình chữ nhật ABCD như hình vẽ.

Vì ABCD là hình chữ nhật 

$\widehat{A}$= $\widehat{B}$= $\widehat{C}$= $\widehat{D}$=$90^o$

Ta có: AB ⊥ AD; AB ⊥ BC suy ra AD // BC.

AB ⊥ AD; CD ⊥ AD suy ra AB // CD.

• Vì ABCD là hình chữ nhật nên AD // BC; AB // CD

Suy ra ABCD cũng là hình bình hành.

• Vì ABCD là hình chữ nhật nên AB // CD suy ra ABCD cũng là hình thang.

Hình thang ABCD có $\widehat{C}$= $\widehat{D}$=$90^o$

Do đó ABCD cũng là hình thang cân.

Luyện tập 1:  Cho hình chữ nhật ABCD. Hai đường chéo AC, BD cắt nhau tại O. Kẻ OH ⊥ DC (H ∈ DC)(H.3.44). Chứng minh rằng H là trung điểm của DC.

Trả lời:

Vì ABCD là hình chữ nhật có hai đường chéo AC và BD bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Suy ra OA = OB = OC = OD.

Xét tam giác OCD cân tại O (vì OC = OD) có OH là đường cao nên OH cũng là đường trung tuyến.

Do đó CH = DH.

Vậy H là trung điểm của DC.

2. DẤU HIỆU NHẬN BIẾT

KHÁM PHÁ

Hoạt động 3: Cho hình bình hành ABCD có góc A vuông. Tính các góc B, C, D. Tứ giác ABCD có là hình chữ nhật không? Vì sao?

Trả lời:

Vì ABCD là hình bình hành nên $\widehat{A}$=$\widehat{C}$, $\widehat{B}$=$\widehat{D}$

Suy ra  $\widehat{A}$=$\widehat{C}$=$90^o$

Ta có

$\widehat{A}$+ $\widehat{B}$+ $\widehat{C}$+ $\widehat{D}$=$360^o$

2$\widehat{B}$+ $180^o$=$360^o$

=> $\widehat{B}$ = $90^o$

Mà $\widehat{B}$=$\widehat{D}$=$90^o$

Hình bình hành ABCD có 

$\widehat{A}$= $\widehat{B}$= $\widehat{C}$= $\widehat{D}$=$90^o$ nên là hình chữ nhật.

Luyện tập 2: Cho tứ giác ABCD có $\widehat{A}$=$90^o$, hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm O của mỗi đường. Hỏi tứ giác ABCD là hình gì? Tại sao?

Trả lời:

Tứ giác ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm O của mỗi đường nên tứ giác ABCD là hình bình hành.

Hình bình hành ABCD là có  $\widehat{A}$=$90^o$

Do đó, tứ giác ABCD là hình chữ nhật.

BÀI TẬP

Bài 3.25: Bằng ê ke, nêu cách kiểm tra một tứ giác có là hình chữ nhật hay không. Hãy giải thích kết quả.

Trả lời:

Dùng ê ke kiểm tra bốn góc của tứ giác đó:

• Nếu bốn góc của tứ giác đều là góc vuông thì tứ giác đó là hình chữ nhật.

Tuy nhiên, vì tổng bốn góc của tứ giác bằng 360° nên nếu ba góc của một tứ giác là góc vuông thì tứ giác đó có bốn góc là góc vuông, do đó tứ giác này là hình chữ nhật.

→ Dùng ê ke kiểm tra được ba góc của tứ giác là góc vuông thì tứ giác đó là hình chữ nhật.

• Nếu bốn góc của tứ giác có ít nhất một góc không vuông thì tứ giác đó không là hình chữ nhật.( Hình chữ nhật là tứ giác có bốn góc vuông.)

Bài 3.26:  Bằng compa, nêu cách kiểm tra một tứ giác có là hình chữ nhật hay không. Giải thích kết quả.

Trả lời:

• Nếu các cặp cạnh đối không bằng nhau thì tứ giác đó không là hình bình hành nên cũng không là hình chữ nhật.

• Nếu các cặp cạnh đối bằng nhau thì tứ giác đó là hình bình hành.

Sau đó ta kiểm tra xem hai đường chéo của tứ giác (là hình bình hành) đó.

• Nếu hai đường chéo của hình bình hành đó bằng nhau thì tứ giác đó là hình chữ nhật.

• Nếu hai đường chéo của hình bình hành đó không bằng nhau thì tứ giác đó không là hình chữ nhật.

Bài 3.27: Cho tam giác ABC, đường cao AH. Gọi M là trung điểm của AC, N là điểm sao cho M là trung điểm của HN. Chứng minh tứ giác AHCN là hình chữ nhật.

Trả lời:

Theo đề bài, M là trung điểm của AC, N là điểm sao cho M là trung điểm của HN.

Nên tứ giác ANCH có hai đường chéo AC và HN cắt nhau tại trung điểm M của mỗi đường.

Suy ra tứ giác ANCH là hình bình hành.

Hình bình hành ANCH có $\widehat{AHC}$=$90^o$ nên tứ giác ANCH là hình chữ nhật.

Bài 3.28: Xét một điểm M trên cạnh huyền của tam giác ABC vuông cân tại A. Gọi N và P lần lượt là hình chiếu vuông góc của M trên các cạnh AB và AC.

a) Hỏi tứ giác MPAN là hình gì?

b) Hỏi M ở vị trí nào thì đoạn thẳng NP có độ dài ngắn nhất? Vì sao?

Trả lời:

a) Tứ giác MPAN có:

$\widehat{NAP}$+$\widehat{APM}$+$\widehat{PMN}$+$\widehat{MNA}$=$360^o$

$90^o$+$90^o$+ $\widehat{PMN}$ +$90^o$= $360^o$

$\widehat{PMN}$ + $270^o$ = $360^o$

=> $\widehat{PMN}$= $90^o$

Tứ giác MPAN có:

$\widehat{ANP}$=$\widehat{APM}$=$\widehat{PMN}$=$\widehat{MNA}$=$90^o$

Do đó tứ giác MPAN là hình chữ nhật.

b) Vì tứ giác MPAN là hình chữ nhật có hai đường chéo AM và NP nên AM = NP.

Để đoạn thẳng NP có độ dài ngắn nhất thì AM có độ dài ngắn nhất.

Khi đó, AM là đường vuông góc kẻ từ A đến đoạn thẳng BC hay AM là đường cao của tam giác ABC.

Mà tam giác ABC vuông cân tại A nên AM cũng là đường trung tuyến.

Do đó M là trung điểm của BC.

Vậy M là trung điểm của đoạn thẳng BC thì đoạn thẳng NP có độ dài ngắn nhất.