MỞ ĐẦU

Câu hỏi: Chúng mình đã biết công thức $(a + b)^2$ = $a^2$ + 2ab + $b^2$, còn công thức tính $(a + b)^3$ thì sao nhỉ?

Trả lời:

Ta đưa $(a + b)^3$ về phép nhân đa thức:

$(a + b)^3$ = (a + b)$(a + b)^2$

1. LẬP PHƯƠNG CỦA MỘT TỔNG

Hoạt động 1: Với hai số a, b bất kì, thực hiện phép tính (a + b)(a + b)2. Từ đó rút ra liên hệ giữa $(a + b)^3$ và  $a^3$ + 3$a^2$b + 3a$b^2$ +$b^3$.

Trả lời:

Ta có (a + b)$(a + b)^2$= (a + b)($a^2$ + 2ab + $b^2$)

= $a^3$ + 2$a^2$b + a$b^2$ + $a^2$b + 2a$b^2$ + $b^3$

= $a^3$ + 3$a^2$b + 3a$b^2$ +$b^3$.

Vậy $(a + b)^3$= $a^3$ + 3$a^2$b + 3a$b^2$ +$b^3$.

Luyện tập 2: Viết biểu thức $x^3$ + 9$x^2$y + 27x$y^2$ + 27$y^3$ dưới dạng lập phương của một tổng.

Trả lời:

Ta có:  $x^3$ + 9$x^2$y + 27x$y^2$ + 27$y^3$

= $x^3$  3$x^2$ . 3y + 3 . x . $3y^2$ + $3y^3$

= $(x + 3y)^3$.

2. LẬP PHƯƠNG CỦA MỘT HIỆU

KHÁM PHÁ

Hoạt động 2: Với hai số a, b bất kì, viết a – b = a + (–b) và áp dụng hằng đẳng thức lập phương của một tổng để tính $(a + b)^3$

Từ đó rút ra liên hệ giữa $(a + b)^3$ và $a^3$ – 3$a^2$b + 3a$b^2$ – $b^3$

Trả lời:

$(a + b)^3$=$[a + (–b)]^3$ = $a^3$ + 3$a^2$(−b) + 3a$(-b^2)$+ $(–b)^3$

= $a^3$ − 3$a^2$b + 3a$b^2$ –$(b)^3$

Luyện tập 3:  Khai triển $(2x – y)^3$.

Trả lời:

Ta có $(2x – y)^3$ = $(2x)^3$ – 3 . $(2x)^2$ . y + 3 . 2x . $y^2$ – $y^3$

= 8$x^3$  – 12$x^2$y + 6x$y^2$ – $y^3$

Luyện tập 4: Viết biểu thức dưới dạng lập phương của một hiệu

8$x^3$ – 36$x^2$y + 54x$y^2$ – 27$y^3$

Trả lời:

Ta có 8$x^3$ – 36$x^2$y + 54x$y^2$ – 27$y^3$

= $(2x)^3$ – 3 . $(2x)^2$ . 3y + 3 . (2x) . $(3y)^2$ – $(3y)^3$

= $(2x – 3y)^3$.

VẬN DỤNG

Câu hỏi: Rút gọn biểu thức: $(x – y)^3$ + $(x + y)^3$.

Trả lời:

Ta có $(x – y)^3$ + $(x + y)^3$

=  $x^3$ – 3$x^2$y + 3x$y^2$ – $y^3$ + $x^3$ + 3$x^2$y + 3x$y^2$ + $y^3$

= 2$x^3$ + 6x$y^2$ 

BÀI TẬP

Bài 2.7: Khai triển:

a) $(x^2 + 2y)^3$

b) $(\frac{1}{2} - 1)^3$

Trả lời:

a) $(x^2 + 2y)^3$

= $(x^2)^3$+3.$(x^2)^2$.2y+3.$x^2$.$(2y)^2$+$(2y)^3$

= $x^6$ + 6$x^4$y + 12$x^2$$y^2$ + 8y

b) $(\frac{1}{2} - 1)^3$

= $\frac{1}{8}$$x^3$−3.$\frac{1}{4}$$x^2$+3.12x−1

= $\frac{1}{8}$$x^3$ - $\frac{3}{4}$$x^2$ + $\frac{3}{2}$x -1

Bài 2.8: Viết các biểu thức sau dưới dạng lập phương của một tổng hoặc một hiệu.

a) 27 + 54x + 36$x^2$ + 8$x^3$;

b) 64$x^3$ – 144$x^2$y + 108x$y^2$ – 27$y^3$.

Trả lời:

a) 27 + 54x + 36$x^2$ + 8$x^3$;

= $3^3$ + 3 . $3^2$ . 2x + 3 . 3 . $(2x)^2$ + $(2x)^3$ 

= $(3 + 2x)^3$

b) 64$x^3$ – 144$x^2$y + 108x$y^2$ – 27$y^3$.

= $(4x)^3$ – 3 . $(4x)^2$ . 3y + 3 . 4x . $(3y)^2$ – $(3y)^3$

= $(4x-3y)^3$

Bài 2.9: Tính nhanh giá trị của biểu thức:

a) $x^3$ + 9$x^2$ + 27x + 27 tại x = 7;

b) 27 – 54x + 36$x^2$ – 8$x^3$ tại x = 6,5.

Trả lời:

a) Ta có: $x^3$ + 9$x^2$ + 27x + 27 

= $(x+3)^3$

Thay x = 7 vào biểu thức  $(x+3)^3$, ta được: $(7+3)^3$ = 1 000

b) Ta có 27 – 54x + 36$x^2$ – 8$x^3$=$(3-2x)^3$

Thay x = 6,5 vào biểu thức $(3-2x)^3$ , ta được:

$(3-2.6,5)^3$ = –1 000.

Bài 2.10: Rút gọn các biểu thức sau:

a) $(x – 2y)^3$ + $(x + 2y)^3$;

b) $(3x + 2y)^3$ + $(3x – 2y)^3$.

Trả lời:

a) $(x – 2y)^3$ + $(x + 2y)^3$;

= 2$x^3$ + 24x$y^2$.

b) $(3x + 2y)^3$ + $(3x – 2y)^3$.

= 54$x^3$ + 72x$y^2$.

Bài 2.11: Chứng minh $(a – b)^3$ = – $(b – a)^3$.

Trả lời:

 $(a – b)^3$ = $a^3$ – 3$a^2$b + 3a$b^2$ – $b^3$

– $(b – a)^3$ = -($b^3$ – 3$a^2$b + 3a$b^2$ – $a^3$)

= -$b^3$ + 3$b^2$a - 3b$a^2$ – $a^3$

= $a^3$ – 3$a^2$b + 3a$b^2$ – $b^3$