MỞ ĐẦU

Câu hỏi: Tròn nói: Tớ viết được đa thức $x^6$ + $y^6$ dưới dạng tích đấy!

Vuông thắc mắc: Tròn làm thế nào nhỉ?

Trả lời:

Tròn đã áp dụng công thức tổng của hai lập phương để đưa về dạng tích như sau:

$x^6$ + $y^6$ = $(x^2)^3$ +  $(y^2)^3$

= ($x^2$+$y^2$)[$(x^2)^2$ - $x^2$.$y^2$  + $(y^2)^2$ ]

= ($x^2$+$y^2$)($x^4$-$x^2$$y^2$+$y^4$).

1. TỔNG HAI LẬP PHƯƠNG

Hoạt động 1: Với hai số a, b bất kì, thực hiện phép tính (a + b)(a2 – ab + b2). Từ đó rút ra liên hệ giữa $a^3$ + $b^3$ và (a + b)($a^2$ – ab + $b^2$).

Trả lời:

(a + b)($a^2$ – ab + $b^2$)

= a . $a^2$ – a . ab + a . $b^2$  + b . $a^2$ – b . ab + b . $b^2$

= $a^3$ + $b^3$

Từ đó rút ra: $a^3$ + $b^3$ = (a + b)($a^2$ – ab + $b^2$)

Luyện tập 1: 

1. Viết $x^3$ + 27 dưới dạng tích.

2. Rút gọn biểu thức $x^3$ + 8$y^3$ – (x + 2y)($x^2$ – 2xy + 4$y^2$).

Trả lời:

1. Ta có $x^3$  + 27 = $x^3$  + 33 = (x + 3)($x^2$ – 3x + 32) = (x + 3)($x^2$ – 3x + 9).

Vậy $x^3$  + 27 = (x + 3)($x^2$ – 3x + 9).

2. Ta có $x^3$ + 8$y^3$ – (x + 2y)($x^2$ – 2xy + 4$y^2$).

= $x^3$  + 8$y^3$ – [$x^3$ + $(2y)^3$]

= $x^3$ + 8$y^3$  – ($x^3$ + 8$y^3$ )

= $x^3$ + 8$y^3$  – $x^3$ – 8$y^3$  = 0.

2. HIỆU HAI LẬP PHƯƠNG

KHÁM PHÁ

Hoạt động 2: Với hai số bất kì, viết $a^3$ – $b^3$ = $a^3$  + $(-b)^3$ và sử dụng hằng đẳng thức tổng hai lập phương để tính $a^3$ + $(-b)^3 Từ đó rút ra liên hệ giữa $a^3$ – $b^3$ và (a – b)($a^2$ + ab + b2).

Trả lời:

Ta có $a^3$ – $b^3$ = $a^3$  + $(-b)^3$ = [a + (–b)][$a^2$ – a . (–b) + $(-b)^2$]

= (a – b)($a^2$ + ab + $b^2$).

Từ đó rút ra: $a^3$ – $b^3$  = (a – b)($a^2$ + ab + $b^2$).

Luyện tập 2: 

1. Viết đa thức $x^3$ – 8 dưới dạng tích.

2. Rút gọn biểu thức (3x – 2y)(9$x^2$ + 6xy + 4$y^2$) + 8$y^3$

Trả lời:

1. $x^3$ – 8 =  (x – 2)($x^2$ + 2x + $2^2$) = (x – 2)($x^2$ + 2x + 4).

2. Rút gọn biểu thức (3x – 2y)(9$x^2$ + 6xy + 4$y^2$) + 8$y^3

= 27$x^3 – 8$y^3$  + 8$y^3$  = 27$x^3

BÀI TẬP

Bài 2.12:  Viết các biểu thức sau dưới dạng tổng hay hiệu hai lập phương:

a) (x + 4)($x^2$ – 4x + 16);

b) (4$x^2$ + 2xy + $y^2$)(2x – y).

Trả lời:

a) (x + 4)($x^2$ – 4x + 16)

= (x + 4)($x^2$  – x . 4 + 42)

= $x^3$ + $4^3$ = $x^3$ + 64;

b) (4$x^2$ + 2xy + $y^2$)(2x – y).

= (2x – y)[$(2x)^2$ + 2xy + $y^2$]

= $(2x)^3$ – $y^3$  = 8$x^3$  – $y^3$

Bài 2.13: Thay ? bằng biểu thức thích hợp.

Trả lời:

a) Ta có $x^3$  + 512 = $x^3$  + $8^3$ = (x + 8)($x^2$ – 8x + $8^2$)

= (x + 8)($x^2$ – 8x + 64).

b) Ta có 27$x^3$  – 8$y^3$ = $(3x)^3$ – $(2y)^3$ = (3x – 2y)[$(3x)^2$ + 3x . 2y + $(2y)^2$]

= (3x – 2y)(9$x^2$ + 6xy + 4$y^2$).

Bài 2.14: Viết các đa thức sau dưới dạng tích:

a) 27$x^3$ + $y^3$ ;

b) $x^3$ – 8$y^3$ .

Trả lời:

a) 27$x^3$ + $y^3$ 

=(3x + y)(9$x^2$ – 3xy + $y^2$).

b) $x^3$ – 8$y^3$ .

= (x – 2y)($x^2$ + 2xy + 4$y^2$).

Bài 2.15: Rút gọn biểu thức sau:

(x – 2y)($x^2$ + 2xy + 4y2) + (x + 2y)($x^2$ – 2xy + 4$y^2$).

Trả lời:

(x – 2y)($x^2$ + 2xy + 4$y^2$) + (x + 2y)($x^2$ – 2xy + 4$y^2$).

= $x^3$ – $(2y)^3$ + $x^3$ + $(2y)^3$

= ($x^3$ + $x^3$) + [$(2y)^3$ – $(2y)^3$]

= $x^3$ + $x^3$ = 2$x^3$