MỞ ĐẦU

Câu hỏi: Lấy một tờ giấy, gấp làm tư tạo ra một góc vuông O, đánh dấu hai điểm A, B trên hai cạnh góc vuông rồi cắt chéotheo đoạn thẳng AB (H.3.46a). Sau khi mở tờ giấy ra, ta được một tứ giác. Tứ giác đó là hình gì? Vì sao? Nếu ta có OA = OB thì tứ giác nhận được là hình gì (H.3.46b)?

Trả lời:

• Hình 3.46a)

Khi gấp làm tư tạo ra một góc vuông O, đánh dấu hai điểm A, B trên hai cạnh góc vuông thì tạo ra tứ giác có bốn cạnh bằng nhau và đều bằng cạnh AB.

Khi đó, tứ giác ABCD là hình thoi.

• Hình 3.46b)

Khi gấp làm tư tạo ra một góc vuông O, đánh dấu hai điểm A, B trên hai cạnh góc vuông. Nếu OA = OB thì hai đường chéo của tứ giác bằng nhau, vuông góc với nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Khi đó, tứ giác đã cho là hình vuông.

1. HÌNH THOI

Câu hỏi: Hình thoi có phải là hình bình hành không? Nếu có, từ tính chất đã biết của hình bình hành, hãy suy ra những tính chất tương ứng của hình thoi.

Trả lời:

Hình thoi có bốn cạnh bằng nhau nên ta suy ra hai cặp cạnh đối bằng nhau.

Do đó hình thoi cũng là hình bình hành.

Ta suy ra tính chất hình thoi dựa vào tính chất của hình bình hành như sau:

Hình thoi có hai góc đối bằng nhau.

Hình thoi có các cặp cạnh đối song song.

Hình thoi có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

KHÁM PHÁ

Hoạt động 1: Cho hình thoi ABCD có hai đường chéo AC, BD cắt nhau tại O (H.3.48).

a) ∆ABD có cân tại A không?

b) AC có vuông góc với BD không và AC có là đường phân giác của góc A không? Vì sao?

Trả lời:

a) Vì tứ giác ABCD là hình thoi nên AB = AD.

Suy ra ∆ABD có cân tại A.

b) Vì tứ giác ABCD là hình thoi nên AB = BC = CD = DA.

Xét ∆ABC và ∆ADC có:

AB = AD (chứng minh trên);

BC = CD (chứng minh trên);

Cạnh AC chung.

Do đó ∆ABC = ∆ADC (c.c.c)

Suy ra $\widehat{A1}$=$\widehat{A2}$ (hai góc tương ứng)

Hay AC là đường phân giác của góc A.

Tam giác ABD cân tại A có AO là đường phân giác của góc A (vì AC là đường phân giác góc A) nên AO cũng là đường cao.

Khi đó AO ⊥ BD hay AC ⊥ BD.

Vậy AC vuông góc với BD và AC là đường phân giác của góc A.

Câu hỏi: Hãy viết giả thiết, kết luận của câu c trong Định lí 2.

Trả lời:

Ta có thể viết giả thiết tương tự đối với tia phân giác góc B hoặc góc C hoặc góc D.

Luyện tập 1: Trong Hình 3.51, hình nào là hình thoi? Vì sao?

Trả lời:

• Hình 3.51a)

Tứ giác đã cho có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường và chúng vuông góc với nhau nên tứ giác đó là hình thoi.

• Gọi tứ giác trong Hình 3.51b) là tứ giác ABCD.

Vì $\widehat{B1}$=$\widehat{D1}$ mà hai góc này ở vị trí so le trong nên AB // CD.

Mà AB = CD nên tứ giác ABCD là hình bình hành.

Mặt khác, $\widehat{D1}$=$\widehat{D2}$ hay DB là tia phân giác của $\widehat{ADC}$ 

Khi đó, hình bình hành ABCD có DB là tia phân giác của $\widehat{ADC}$ 

Do đó tứ giác ABCD là hình thoi.

• Tứ giác trong Hình 3.51c) không phải là hình thoi vì các cạnh của tứ giác không bằng nhau.

Vậy Hình 3.51a và Hình 3.51b là hình thoi.

2. HÌNH VUÔNG

Hoạt động 2: Hãy giải thích tại sao hai đường chéo của hình vuông bằng nhau và vuông góc với nhau.

Trả lời:

Hình vuông cũng là hình thoi, hình chữ nhật.

Mà hình chữ nhật có hai đường chéo bằng nhau còn hình thoi có hai đường chéo vuông góc với nhau.

Do đó, hai đường chéo của hình vuông bằng nhau và vuông góc với nhau.

Câu hỏi: Hãy viết giả thiết, kết luận của câu a trong Định lí 4.

Trả lời:

Ta có thể viết giả thiết đối với cặp cạnh kề khác như: AB = BC; BC = CD; CD = AD.

Luyện tập 2: Với mỗi hình dưới đây, ta dùng dấu hiệu nhận biết nào để khẳng định đó là hình vuông?

Trả lời:

• Hình 3.54a)

Tứ giác ABCD có hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Suy ra tứ giác này là hình chữ nhật.

Mà AB = BC nên tứ giác ABCD là hình vuông.

Ta dùng dấu hiệu nhận biết: Hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau là hình vuông.

• Hình 3.54b)

Tứ giác EFGH có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm P của mỗi đường.

Ta có $\widehat{EFG}$=$\widehat{EFP}$ + $\widehat{GFG}$ = $45^o$ + $45^o$ = $90^o$

Suy ra tứ giác EFGH là hình chữ nhật.

Hình chữ nhật EFGH có đường chéo FH là đường phân giác của $\widehat{EFG}$

Do đó tứ giác EFGH là hình vuông.

Ta dùng dấu hiệu nhận biết: Hình chữ nhật có một đường chéo là đường phân giác của một góc làhình vuông.

• Hình 3.54c)

Tứ giác IJKL có hai đường chéo IK và JL bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm Q của mỗi đường.

Suy ra tứ giác IJKL là hình chữ nhật.

Mà IK ⊥ JL nên tứ giác IJKL là hình vuông.

Ta dùng dấu hiệu nhận biết: Hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc là hình vuông.

BÀI TẬP

Bài 3.29: Tìm hình thoi và hình vuông trong Hình 3.55.

Trả lời:

* Xét Hình 3.55a)

Tứ giác ABCD có AB = CD; AD = BC.

Suy ra tứ giác ABCD là hình bình hành.

* Xét Hình 3.55b)

Tứ giác EFGH có hai đường chéo EG và FH cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Suy ra tứ giác EFGH là hình bình hành.

Hình bình hành EFGH có hai đường chéo vuông góc với nhau

Do đó tứ giác EFGH là hình thoi.

* Xét Hình 3.55c)

+ Tam giác MNP có $\widehat{NMP}$ + $\widehat{NPM}$ + $\widehat{MNP}$ = $180^o$

Suy ra:

$\widehat{MNP}$  = $180^o$ - $\widehat{NPM}$ - $\widehat{NMP}$

= $180^o$ - $45^o$ - $45^o$ = $90^o$

Chứng minh tương tự ta cũng có $\widehat{MQP}$ = $90^o$

+ Ta có: $\widehat{NMQ}$= $\widehat{NMP}$ +$\widehat{PMQ}$ = $45^o$ + $45^o$ = $90^o$

Xét tứ giác MNPQ có 

$\widehat{MNP}$ = $\widehat{MQP}$ = $\widehat{NMQ}$ =M$\widehat{NPQ}$ = $90^o$ nên là hình chữ nhật.

Lại có hai đường chéo MP và NQ vuông góc với nhau

Do đó hình chữ nhật MNPQ là hình vuông.

* Xét Hình 3.55d)

Tứ giác RSUT không là hình thoi cũng không là hình vuông do không có các cạnh bằng nhau.

Vậy tứ giác EFGH trong hình 3.55b) là hình thoi và tứ giác MNPQ trong hình 3.55c) là hình vuông.

Bài 3. 30: Cho tam giác ABC, D là một điểm nằm giữa B và C. Qua D kẻ các đường thẳng song song với AB, AC, chúng cắt các cạnh AC, AB lần lượt tại E, F.

a) Tứ giác AEDF là hình gì? Vì sao?

b) Nếu tam giác ABC cân tại A thì điểm D ở vị trí nào trên cạnh BC để tứ giác AEDF là hình thoi?

c) Nếu tam giác ABC vuông tại A thì tứ giác AEDF là hình gì?

d) Nếu tam giác ABC vuông cân tại A thì điểm D ở vị trí nào trên cạnh BC để AEDF là hình vuông?

Trả lời:

a) Tứ giác AEDF có AE // DF; AF // DE (giả thiết).

Suy ra tứ giác AEDF là hình bình hành.

b) Hình bình hành AEDF là hình thoi khi AD là tia phân giác của góc A.

Mà tam giác ABC cân tại A nên đường phân giác AD đồng thời là đường trung tuyến

Do đó D là trung điểm của BC.

Ngược lại, nếu D là trung điểm của cạnh BC của tam giác ABC cân tại A thì hình bình hành AEDF có đường chéo AD là đường phân giác của góc A nên AEDF là hình thoi.

c) Nếu ΔABC vuông tại A thì AEDF là hình chữ nhật (vì hình bình hành có một góc vuông là hình chữ nhật).

d) Tam giác ABC vuông cân tại A tức là vừa vuông tại A vừa cân tại A.

Theo câu c, nếu ΔABC vuông tại A thì AEDF là hình chữ nhật.

Để hình chữ nhật AEDF là hình vuông thì tức nó cũng là hình thoi.

Theo câu b, AEDF là hình thoi nếu D là trung điểm của cạnh BC của tam giác ABC cân tại A.

Vậy nếu tam giác ABC vuông cân tại A thì để AEDF là hình vuông thì điểm D là trung điểm của BC.

Bài 3.31: Chứng minh rằng các trung điểm của bốn cạnh trong một hình chữ nhật là các đỉnh của một hình thoi.

Trả lời:

Giả sử có hình chữ nhật ABCD. Gọi E, F, G, H lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA.

Ta cần chứng minh EFGH là hình thoi. Thật vậy:

Do ABCD là hình chữ nhật nên AD = BC.

H là trung điểm của AD nên AH = DH = $\frac{1}{2}$AD

F là trung điểm của BC nên BF = CF = $\frac{1}{2}$BC

Do đó AH = DH = BF = CF.

Xét ΔAHE và ΔBFE có:

$\widehat{HAE}$=$\widehat{FBE}$=$90^o$

AE = BE (do E là trung điểm của AB);

AH = BF (chứng minh trên).

Do đó Δ
AHE = Δ
BFE (hai cạnh góc vuông)

Suy ra HE = FE (hai cạnh tương ứng).

Tương tự, ta cũng có:

• ∆BEF = ΔCGF (hai cạnh góc vuông), suy ra EF = GF (hai cạnh tương ứng).

• Δ
CGF = Δ
DGH (hai cạnh góc vuông), suy ra GF = GH (hai cạnh tương ứng).

Từ đó ta có EF = FG = GH = HE

Do đó tứ giác EFHG là hình thoi.

Bài 3.32: Chứng minh rằng các trung điểm của bốn cạnh trong một hình thoi là các đỉnh của một hình chữ nhật.

Trả lời:

Ta cần chứng minh EFGH là hình chữ nhật. Thật vậy:

Do ABCD là hình thoi nên AB = BC = CD = DA.

Do E, H lần lượt là trung điểm của AB, AD nên AH = DH = AE = BE.

Tam giác AHE có AH = AE nên là tam giác cân tại A, suy ra

$\widehat{AHE}$ = $\widehat{AEH}$

Mà $\widehat{HAE}$ + $\widehat{AHE}$ + $\widehat{AEH}$

Mà $\widehat{HAE}$ + $\widehat{AHE}$ + $\widehat{AEH}$ = $180^o$

Suy ra $\widehat{AHE}$ = $\frac{(180^o)-\widehat{HAE}}{2}$

Tương tự, ta có tam giác DHG cân tại D nên

$\widehat{AHG}$ = $\frac{(180^o)-\widehat{HDG}}{2}$

Mặt khác, do ABCD là hình thoi nên AB // CD, suy ra

$\widehat{HAE}$ + $\widehat{HDG}$ = $180^o$

Suy ra:

$\widehat{EHG}$ = $180^o$ - ( $\widehat{AHE}$ + $\widehat{DHG}$) = $180^o$ - $90^o$ = $90^o$ 

Chứng minh tương tự như trên ta cũng có

$\widehat{HEF}$ = $\widehat{EFG}$ = $\widehat{FGH}$ = $90^o$ 

Tứ giác EFGH có bốn góc vuông nên là hình chữ nhật.

Bài 3.33: Cho hình chữ nhật ABCD có chu vi bằng 36 cm. Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Biết rằng MA ⊥ MD. Tính độ dài các cạnh của hình chữ nhật ABCD (H.3.56).

Trả lời:

Gọi I là trung điểm của AD.

Khi đó, MI = $\frac{AD}{2}$  mà M là trung điểm của BC nên MI = AB.

Suy ra AB = $\frac{AD}{2}$ nên AD = 2AB.

Mà AB + AD = $\frac{36}{2}$ = 18 (cm).

Suy ra AB + 2AB = 18

Hay 3AB = 18

Do đó AB = 6 (cm).

Suy ra AD = 2AB = 2 . 6 = 12 (cm).

Vậy độ dài các cạnh của hình chữ nhật ABCD là AB = CD = 6 cm; AD = BC = 12 cm.