BÀI TẬP

Bài 3.9: Tứ giác ABCD trong Hình 3.25 có phải là hình thang không? Vì sao?

Trả lời:

Vẽ tia Dx đi qua điểm A.

Vì  $\hat{DAB}$  và $\hat{BAx}$ là hai góc kề bù nên $\hat{DAB}$  + $\hat{BAx}$ =$180^o$

Suy ra $\hat{BAx}$ =$180^o$ - $\hat{DAB}$ = $180^o$ -$120^o$ = $60^o$

Ta có $\hat{ADC}$ = $\hat{BAx}$ = $60^o$ mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên AB // CD.

Vậy tứ giác ABCD là hình thang.

Bài 3.10: Cho hình thang cân ABCD (AB // CD) có AB = AD. Biết $\hat{ADB}$ = $30^o$  tính số đo các góc của hình thang đó.

Trả lời:

Xét tam giác ABD cân tại A (vì AB = AD), ta có:

Bài 3.11: Tính số đo các góc của tứ giác ABCD trong Hình 3.26.

Trả lời:

* Xét tam giác ABD cân tại A (vì AB = AD) ta có:

$\hat{ADB}$ = $\hat{ABD}$ = $40^o$

$\hat{A}$ + $\hat{ABD}$ + $\hat{ADB}$ = $180^o$

Suy ra: $\hat{A}$ = $180^o$ - $\hat{ABD}$ - $\hat{ADB}$  = $180^o$ - $40^o$ - $40^o$ = $100^o$

Ta có:  $\hat{ADB}$ + $\hat{BDC}$ = $120^o$ 

Suy ra 

Bài 3.12: Cho M là một điểm nằm trong tam giác đều ABC. Qua M kẻ các đường thẳng song song với BC, CA, AB lần lượt cắt AB, BC, CA tại các điểm P, Q, R.

a) Chứng minh tứ giác APMR là hình thang cân.

b) Chứng minh rằng chu vi tam giác PQR bằng tổng độ dài MA + MB + MC.

c) Hỏi với vị trí nào của M thì tam giác PQR là tam giác đều?

Trả lời:

a) Vì tam giác ABC đều nên $\hat{BAC}$ = $\hat{ABC}$= $\hat{ACB}$=$60^o$

Vì PM // BC nên $\hat{APM}$ = $\hat{ABC}$=$60^o$ (đồng vị).

Suy ra $\hat{APM}$ = $\hat{PAR}$(cùng bằng 60°).

Tứ giác APMR là hình thang (vì MR // AP) có $\hat{APM}$ = $\hat{PAR}$

Do đó tứ giác APMR là hình thang cân.

b) Vì tứ giác APMR là hình thang cân nên AM = PR (1)

Chứng minh tương tự câu a, ta cũng có các tứ giác BPMQ và MQCR là hình thang cân.

Suy ra BM = PQ và MC = QR (2)

Từ (1)và (2) suy ra PR + PQ + QR = MA + MB + MC.

Mà PR + PQ + QR chính là chu vi của tam giác PQR.

Do đó chu vi tam giác PQR bằng tổng độ dài MA + MB + MC (đpcm).

c) Để tam giác PQR là tam giác đều thìPR = PQ = QRsuy ra MA = MB = MC

Khi đó điểm M cách đều ba đỉnh A, B, C của tam giác ABC.

Do đó M là giao điểm của ba đường trung trực (đồng thời M cũng là giao điểm của ba đường trung tuyến, ba đường cao, đường phân giác).

Vậy khi M là giao điểm của ba đường trung trực thì tam giác PQR là tam giác đều.