a) Cho hàm số f(x) xác định trên K ( k là nửa khoảng hay đoạn của trục số).

Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu $F'(x)=f(x)$ với mọi x thuộc K.

Định lý

Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì:

• Với mỗi hằng số C, $F(x) + C$ cũng là một nguyên hàm của hàm số trên f(x) trên K.
• G(x) cũng là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì tồn tại một hằng số C sao cho: $G(x) = F (x) +C$

b) 

Định lí 2

• Nếu hai hàm số $u=u(x)$ và $v=v(x)$ có đạo hàm liên tục trên K thì:

• Hay: $\int udv=uv-\int vdu$  với $ v'(x)dx=dv,u'(x)dx=du$

Ví dụ minh họa:

Tính: $\int x\ln (1+x)dx$ ( Sử dụng phương pháp tính nguyên hàm từng phần )

Lời giải:

Đặt $u= \ln(1+x)$ , $dv= xdx$  

   => $du=\frac{1}{1-x}dx$ ,  

        $v=\frac{x^{2}}{2}

Ta có: $\int x\ln(1+x)dx = \frac{x^{2}}{2}\ln(1+x)−\int \frac{x^{2}dx}{2(x+1)}$

<=> $\int x\ln(1+x)dx= $\frac{1}{2}(x^{2}-1)\ln(1-x)-\frac{x^{2}}{4}+\frac{x}{2}+C$