Theo giả thiết ta có:

Cấp số nhân: \(u_1, u_2, u_3,...\)

Cấp số cộng: \(u_1 + 10, u_2 + 8, u_3,...\)

Ta có hiệu của số hạng thứ ba và số hạng thứ hai bằng 12 nên có phương trinh: \(u_3-u_2=12\)

Ta có trong cấp số cộng, số hạng thứ hai sẽ bằng trung bình cộng của số hạng thứ nhất và số hạng thứ ba nên ta có phương trình: \(u_2+8=\frac{(u_1+10)+u_3}{2}\)

Ta có hệ phương trình:

\(\left\{ \matrix{{u_3} - {u_2} = 12 \hfill \cr {u_2} + 8 = {{({u_1} + 10) + {u_3}} \over 2} \hfill \cr} \right. \)

\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{{u_1}{q^2} - {u_1}q = 12 \hfill \cr 2({u_1}q + 8) = {u_1} + 10 + {u_1}{q^2} \hfill \cr} \right. \)

\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{{u_1}({q^2} - q) = 12 \hfill \cr {u_1}({q^2} - 2q + 1) = 6 \hfill \cr} \right. \)

\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{{u_1}({q^2} - q) = 12\,(1) \hfill \cr {u_1}{(q - 1)^2} = 6\,(2) \hfill \cr} \right.({u_1} \ne 0,q \ne 0,q \ne 1)\)

Lấy (1) chia cho (2) theo từng vế, ta được:

\({{{q^2} - q} \over {{{(q - 1)}^2}}} = 2 \Leftrightarrow  q=2 \)

\(q = 2\), thay vào (1) ta có: \(u_1(4 – 2) = 12 ⇔ u_1= 6\)

Ta được cấp số nhân có \(u_1=6, q=2\)

Vậy tổng của 5 số hạng đầu của cấp số nhân là:

\({S_5} = {u_1}{{1 - {q^5}} \over {1 - q}} = 6.{{1 - {2^5}} \over {1 - 2}} = 186\).