Xét cấp số cộng \(u_1, u_2, u_3,...\) có công sai \(d > 0\)

Theo giả thiết ta có:

\(\left\{ \matrix{{u_1} + {u_2} + {u_3} = 27 \hfill \cr {u_1}^2 + {u_2}^2 + {u_3}^2 = 275 \hfill \cr} \right. \)

\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{{u_1} + ({u_1} + d) + ({u_1} + 2d) = 27 \hfill \cr {u_1}^2 + {({u_1} + d)^2} + {({u_1} + 2d)^2} = 275 \hfill \cr} \right. \)

\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{3{u_1} + 3d = 27 \hfill \cr 3{u_1}^2 + 6{u_1}d + 5{d^2} = 275 \hfill \cr} \right. \)

\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{{u_1} = 9 - d\,(1) \hfill \cr 3{u_1}^2 + 6{u_1}d + 5{d^2} = 275\,(2) \hfill \cr} \right. \)

Thay  \(u_1\) ở (1) vào (2) ta được phương trinh:

\(3(9 - d)^2+ 6d(9 – d) + 5d^2= 275 \Leftrightarrow d^2– 16 = 0 \Leftrightarrow  d = ± 4\)

Vì \(d > 0\) nên ta chọn giá trị \(d = 4\)

\(d=4\Rightarrow u_1=9-4= 5\)

Vậy cấp số cộng phải tìm là \(5, 9, 13, 17, ...\)