Nội dung bài viết gồm 2 phần:
Ôn tập lý thuyết
Hướng dẫn giải bài tập sgk
A. Tóm tắt lý thuyết
I. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm
1. Định nghĩa
ĐỊNH NGHĨA 1
Cho khoảng K chứa điểm $x_{0}$và hàm số $y=f(x)$xác định trên K hoặc K \ {\(x_{0}\)}
Ta nói hàm số \(y=f(x)\)có giới hạn là số L khi x dần tới \(x_{0}\)nếu với dãy số \((x_{n})\)bất kì,
\(x_{n}\in \)K \ {\(x_{0}\)}; \(x_{n}\rightarrow x_{0}\)
ta có \(f(x_{n})\rightarrow L\)
Kí hiệu: \(\underset{x\rightarrow x_{0}}{lim }f(x) = L\)hay \(f(x)\rightarrow L\)khi \(x\rightarrow x_{0}\)
2. Định lí về giới hạn hữu hạn
ĐỊNH LÍ 1
a. Giả sử \(\underset{x\rightarrow x_{0}}{lim }f(x) = L\)và \(\underset{x\rightarrow x_{0}}{lim }g(x) = M\)
Khi đó:
- \(\underset{x\rightarrow x_{0}}{lim }[f(x)+g(x)] = L+M\)
- \(\underset{x\rightarrow x_{0}}{lim }[f(x)-g(x)] = L-M\)
- \(\underset{x\rightarrow x_{0}}{lim }[f(x).g(x)] = L.M\)
- \(\underset{x\rightarrow x_{0}}{lim }\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{L}{M}\)(nếu \(M\neq 0\))
b. Nếu \(f(x)\geq 0\)và \(\underset{x\rightarrow x_{0}}{lim }f(x) = L\)thì:
\(L\geq 0\)và \(\underset{x\rightarrow x_{0}}{lim }\sqrt{f(x)} = \sqrt{L}\)
(Dấu của \(f(x)\)được xét trên khoảng đang tìm giới hạn, với \(x\neq x_{0}\))
3. Giới hạn một bên
ĐỊNH NGHĨA 2
- Cho hàm số \(y=f(x)\)xác định trên khoảng \((x_{0}; b)\)
Số L được gọi là giới hạn bên phải của hàm số \(y=f(x)\)khi \(x\rightarrow x_{0}\)nếu với dãy số \((x_{n})\)bất kì, \(x_{0}<x_{n}<b\)và \(x_{n}\rightarrow x_{0}\)
ta có \(f(x_{n})\rightarrow L\)
Kí hiệu: \(\underset{x\rightarrow x_{0}^{+}}{lim }f(x) = L\)
- Cho hàm số \(y=f(x)\)xác định trên khoảng \((a; x_{0})\)
Số L được gọi là giới hạn bên trái của hàm số \(y=f(x)\)khi \(x\rightarrow x_{0}\)nếu với dãy số \((x_{n})\)bất kì, \(a<x_{n}<x_{0}\)và \(x_{n}\rightarrow x_{0}\)
ta có \(f(x_{n})\rightarrow L\)
Kí hiệu: \(\underset{x\rightarrow x_{0}^{-}}{lim }f(x) = L\)
ĐỊNH LÍ 2
\(\underset{x\rightarrow x_{0}}{lim }f(x) = L\)khi và chỉ khi \(\underset{x\rightarrow x_{0}^{-}}{lim }f(x) = \underset{x\rightarrow x_{0}^{+}}{lim }f(x) = L\)
II. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại vô cực
ĐỊNH NGHĨA 3
a. Cho hàm số \(y=f(x)\)xác định trên khoảng \((a; +\infty )\)
Ta nói hàm số \(y=f(x)\)có giới hạn là số L khi \(x\rightarrow +\infty \)nếu với dãy số \((x_{n})\)bất kì, \(x_{n}>a; x_{n}\rightarrow +\infty\)
ta có \(f(x_{n})\rightarrow L\)
Kí hiệu: \(\underset{x\rightarrow +\infty }{lim }f(x) = L\)hay \(f(x)\rightarrow L\)khi \(x\rightarrow +\infty \)
b. Cho hàm số \(y=f(x)\)xác định trên khoảng \((-\infty ;a)\)
Ta nói hàm số \(y=f(x)\)có giới hạn là số L khi \(x\rightarrow -\infty \)nếu với dãy số \((x_{n})\)bất kì, \(x_{n}<a; x_{n}\rightarrow -\infty\)
ta có \(f(x_{n})\rightarrow L\)
Kí hiệu: \(\underset{x\rightarrow -\infty }{lim }f(x) = L\)hay \(f(x)\rightarrow L\)khi \(x\rightarrow -\infty \)
CHÚ Ý
a. Với c, k là các hằng số và k là nguyên dương, ta luôn có:
- \(\underset{x\rightarrow +\infty }{lim }c = c\)
- \(\underset{x\rightarrow -\infty }{lim }c = c\)
- \(\underset{x\rightarrow +\infty }{lim }\frac{c}{x^{k}} = 0\)
- \(\underset{x\rightarrow -\infty }{lim }\frac{c}{x^{k}} = 0\)
b. Định lí 1 về giới hạn của hàm số khi \(x\rightarrow x_{0}\)vẫn còn đúng khi \(x\rightarrow +\infty \)hoặc \(x\rightarrow -\infty\)
III. Giới hạn vô cực của hàm số
1. Giới hạn vô cực
ĐỊNH NGHĨA 4
Cho hàm số \(y=f(x)\)xác định trên khoảng \((a; +\infty )\)
Ta nói hàm số \(y=f(x)\)có giới hạn là \(-\infty \)khi \(x\rightarrow +\infty \)nếu với dãy số \((x_{n})\)bất kì, \(x_{n}>a\)và \(x_{n}\rightarrow +\infty \)ta có \(f(x_{n})\rightarrow -\infty\)
Kí hiệu: \(\underset{x\rightarrow +\infty }{lim }f(x) = -\infty \)hay \(f(x)\rightarrow -\infty \)khi \(x\rightarrow +\infty \)
NHẬN XÉT: \(\underset{x\rightarrow +\infty }{lim }f(x) = +\infty \Leftrightarrow \underset{x\rightarrow +\infty }{lim }(-f(x)) = -\infty \)
2. Một vài giới hạn đặc biệt
- \(\underset{x\rightarrow +\infty }{lim }x^{k} = +\infty \)với k nguyên dương.
- \(\underset{x\rightarrow -\infty }{lim }x^{k} = -\infty \)nếu k là số lẻ
- \(\underset{x\rightarrow -\infty }{lim }x^{k} = +\infty \)nếu k là số chẵn
3. Một vài quy tắc về giới hạn vô cực
Nếu \(\underset{x\rightarrow x_{0}}{lim }f(x) = L\neq 0\)và \(\underset{x\rightarrow x_{0}}{lim }g(x) = +\infty \)(hoặc \(-\infty \))thì \(\underset{x\rightarrow x_{0}}{lim }f(x)g(x)\)được tính theo quy tắc cho trong bảng sau:
a. Quy tắc tìm giới hạn của tích $f(x).g(x)$
\(\underset{x\rightarrow x_{0}}{lim }f(x)\) | \(\underset{x\rightarrow x_{0}}{lim }g(x)\) | \(\underset{x\rightarrow x_{0}}{lim }f(x)g(x)\) |
\(L>0\) | \(+\infty\) | \(+\infty\) |
\(-\infty\) | \(-\infty\) | |
\(L<0\) | \(+\infty\) | \(-\infty\) |
\(-\infty\) | \(+\infty\) |
b. Quy tắc tìm giới hạn của thương $\frac{f(x)}{g(x)}$
\(\underset{x\rightarrow x_{0}}{lim }f(x)\) | \(\underset{x\rightarrow x_{0}}{lim }g(x)\) | Dấu của \(g(x)\) | \(\underset{x\rightarrow x_{0}}{lim }\frac{f(x)}{g(x)}\) |
\(L\) | \(\pm \infty\) | Tùy ý | 0 |
\(L>0\) | 0 | + | \(+\infty\) |
- | \(-\infty\) | ||
\(L<0\) | + | \(-\infty\) | |
- | \(+\infty\) |
(Dấu của \(g(x)\)xét trên một khoảng K nào đó đang tính giới hạn, với \(x\neq x_{0}\)
CHÚ Ý: Các quy tắc trên vẫn đúng cho các trường hợp \(x\rightarrow x_{0}^{+}, x\rightarrow x_{0}^{-}, x\rightarrow +\infty ; x\rightarrow -\infty \)
Bình luận