Ở bài 19 ta có: \(f(x) = {x^3} - {1 \over {2}}{x^2} - {3 \over 2}(C)\)

\(\Rightarrow f'(x)=3x^2-x\)

a.  Ta có: 

\({x_0} = - 1 \Rightarrow {y_0}={( - 1)^3} - {1 \over 2}{( - 1)^2} - {3 \over 2} = - 3 \)

\(f'(x) = 3{x^2} - x \Rightarrow f'(-1) = 3.(-1)^2 -(- 1) = 4\)

Vậy phương trình tiếp tuyến của (C) tại \(x_0= -1\)là:

\(y + 3 = 4(x + 1) ⇔ y = 4x + 1\)

b. Ta có:

\(f'(\sin\, x) = 0 \)

\(\Leftrightarrow 3{\sin ^2}\,x - \sin\,x = 0 \)

\(\Leftrightarrow \sin \,x(3\sin \,x - 1) = 0 \)

\(\Leftrightarrow \left[ \matrix{\sin \,x = 0 \hfill \cr \sin \,x = {1 \over 3} \hfill \cr} \right. \)

Ta có:

• \(\sin x = 0 \Leftrightarrow x = k\pi (k \in \mathbb Z) \)
• \(\sin x = {1 \over 3} \Leftrightarrow \left[ \matrix{x = \arcsin {1 \over 3} + k2\pi \hfill \cr x = \pi - {\rm{arcsin}}{1 \over 3} + k2\pi \hfill \cr} \right.\)

Vậy phương trình có nghiệm là: \(\left[ \matrix{x = k\pi  \hfill \cr x = \arcsin {1 \over 3} + k2\pi \hfill \cr x = \pi - {\rm{arcsin}}{1 \over 3} + k2\pi  \hfill \cr} \right.; k \in \mathbb Z\)

c) Tìm \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{f''(\sin\, 5x) + 1} \over {g'(\sin \,3x) + 3}}\)

Ta có:

\(f’'(x) = 6x – 1 ⇒ f’’ (sin \,5x) = 6sin\,5x – 1\)

\(g’(x) = 2x – 3 ⇒ g’(sin\, 3x) = 2.sin \,3x – 3\)

\(\Rightarrow {{f''(\sin\, 5x) + 1} \over {g'(\sin\, 3x) + 3}} = {{6\sin \,5x} \over {2\sin \,3x}} = 5{{\sin\, 5x} \over {5x}}{{3x} \over {\sin \,3x}} \)

\(\Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{f''(\sin 5x) + 1} \over {g'(\sin 3x) + 3}}= 5\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{\sin 5x} \over {5x}}\lim {{3x} \over {\sin 3x}} = 5.1.1 = 5 \)