Nội dung bài viết gồm 2 phần:
- Ôn tập lý thuyết
- Hướng dẫn giải bài tập sgk
A. LÝ THUYẾT
I. Hoán vị
1. Định nghĩa
- Cho tập hợp A gồm n phần tử (n ≥ 1). Mỗi kết quả của sự sắp xếp thứ tự n phần tử của tập hợp A được gọi là một hoán vị của n phần tử đó.
- Nhận xét:
- Hai hoán vị chỉ khác nhau ở thứ tự sắp xếp.
- Chẳng hạn, hoán vị abc và acb của ba phần tử a, b, c là khác nhau.
2. Số hoán hoán vị
- Số các hoán vị của n phần tử khác nhau đã cho (n ≥ 1) được kí hiệu là Pn và bằng:
| Pn = n(n - 1)(n - 2)...2 . 1 = n! |
II. Chỉnh hợp
1. Định nghĩa
- Cho tập hợp A gồm n phần tử (n ≥ 1). Kết quả của việc lấy k phần tử khác nhau từ n phần tử của tập hợp A và sắp xếp chúng theo một thứ tự nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử đã cho.
- Chú ý:
- Mỗi hoán vị của n phần tử khác nhau đã cho chính là một chỉnh hợp chập n của n phần tử đó.
2. Số các chỉnh hợp
- Định lí: Số chỉnh hợp chập k của n phần tử khác nhau đã cho được kí hiệu là Akn .
| Akn = n(n – 1)…(n – k + 1) |
- Chú ý :
- Với quy ước 0! = 1, ta có
| $A_{k}^{n}=\frac{n!}{(n - k)!} , 1\leq k\leq n$ |
- Mỗi hoán vị của n phần tử cũng chính là một chỉnh hợp chập n của n phần tử đó.
| $P_n = A_{n}^{n}$ |
III. Tổ hợp
1. Định nghĩa
- Giả sử tập A có n phân tử ( n ≥ 1). Mỗi tập hợp con gồm k phần tử của A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử đã cho.
- Chú ý:
- Số k trong định nghĩa cần thỏa mãn điều kiện 1 ≤ k ≤ n. Tuy vậy, số tập hợp không có phần tử nào là tập rỗng nên ta quy ước gọi tập rỗng là tổ hợp chập 0 của n phần tử.
2. Số các tổ hợp
- Định lí : Số các tổ hợp chập k của n phần tử khác nhau đã cho được kí hiệu là Ckn .
| $C_{k}^{n}=\frac{n!}{k!(n - k)!}$ |
3. Tính chất của Ckn
- Với mọi n ≥ 1; 0 ≤ k ≤ n, ta có:
- Tính chất 1
| $C_{n}^{k}= C_{n}^{n-k}$ |
- Tính chất 2
| $C_{n-1}^{k-1} + C_{n-1}^{k}= C_{n}^{k}$ |
Bình luận