- Ôn tập lý thuyết
- Hướng dẫn giải bài tập sgk
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Định nghĩa
Cấp số nhân là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều là tích số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi q.
Số q được gọi là công bội của cấp số nhân.
Nếu $(u_{n})$là cấp số nhân với công bội q ta có công thức truy hồi:
$u_{n+1}-u_{n}.q; n \in \mathbb{N}$(1)
Đặc biệt:
- Khi $q=0$, cấp số nhân có dạng $u_{1}; 0; 0; ....; 0; .....$
- Khi $q=1$, cấp số nhân có dạng $u_{1};u_{1};u_{1};u_{1};u_{1};.....; u_{1}; ............$
- Khi $u_{1}=0$thì với mọi q, cấp số nhân có dạng $0; 0; 0; .....; 0; ......$
2. Số hạng tổng quát
ĐỊNH LÍ 1:
Nếu cấp số nhân có số hạng đầu $u_{1}$và công bội q thì số hạng tổng quát $u_{n}$được xác định bởi công thức:
$u_{n}=u_{1}.q^{n-1}; n\geq 2$(2)
3. Tính chất các số hạng của cấp số nhân
ĐỊNH LÍ 2:
Trong một cấp số nhân, bình phương của mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và cuối) đề là tích của hai số hạng đứng kề với nó, nghĩa là:
$u_{k}^{2}=u_{k-1}.u_{k+1}; k\geq 2$(3)
hay $|u_{k}|=\sqrt{u_{k-1}.u_{k+1}}$
4. Tổng n số hạng đầu của một cấp số nhân
Cấp số nhân $(u_{n})$công bội q có thể viết dưới dạng:
$u_{1}, u_{1}q^{2}; u_{1}q^{3}; ...; u_{1}q^{n-1}; ......$
Khi đó: $S_{n}=u_{1}+u_{2}+u_{3}+....+u_{n}=u_{1}+u_{1}q+u_{1}q^{2}+u_{1}q^{3}+...+u_{1}q^{n-1}$(4)
Nhân hai vế của (4) với q ta được:
$q.S_{n}=u_{1}+u_{1}q^{2}+u_{1}q^{3}+...+u_{1}q^{n-1}$(5)
Trừ từng vế tương ứng của các đẳng thức (4) và (5) ta được:
$(1-q)S_{n}=u_{1}(1-q^{n})$
ĐỊNH LÍ 3:
Cho cấp số nhân $(u_{n})$với công bội $q\neq 1$
Đặt: $S_{n}=u_{1}+u_{2}+u_{3}+....+u_{n}$
Khi đó: $S_{n}=\frac{u_{1}(1-q^{n})}{1-q}$
Bình luận