Vẽ hình: 

Chứng minh:

a)

Xét tam giác vuông AMC và BPC có:

AC = CB 

 góc ACM= góc BCP

=> ΔAMC=ΔBPC (cạnh góc vuông - góc nhọn)

=> MC = CP 

Mà NC ⊥ MP

=> NC là đường trung trực của MP

=> Tam giác NMP cân tại N

=> $\widehat{P_{1}}=\widehat{M_{2}}$

Mà $\widehat{P_{1}}=\widehat{M_{1}}$ (so le trong)

=> góc M1= góc M2

Xét tam giác  vuông AMC và HMC có:

MC chung

$\widehat{M_{1}}=\widehat{M_{2}}$

=> ΔAMC=ΔHMC (cạnh huyền - góc nhọn) 

=> AM = MH

Tam giác MNP cân tại N có NC là đường trung trực đồng thời là đường phân giác xuất phát từ N.

Xét tam giác HNC và BNC có:

CN chung

$\widehat{N_{1}}=\widehat{N_{2}}$

=> ΔCHN=ΔCBN (cạnh huyền - góc nhọn)

=> NH = NB (cạnh tương ứng)

=> AM + BN = MH + HN = MN => AM + BN = MH + HN = MN

b) Tam giác MAH cân tại M với MC là đường phân giác xuất phát từ đỉnh cân M

=> MC là đồng thời là đường trung trực của AH

Tam giác NBH cân tại N với NC là đường phân giác xuất phát từ đỉnh cân N

=> NC đồng thời là đường trung trực của BH.

c) Xét tam giác HAB có CA = CB

=> HC là đường trung tuyến

ΔAMC=ΔHMC

=> AC = HC

=> HC = CA = CB

Đường trung tuyến ứng với cạnh AB và bằng nửa cạnh AB.

Vậy $\Delta HAB$ vuông tại H.