a) Gọi giao điểm của AC và BD là O.

Xét ΔABC và ΔDCB có:

$\widehat{BAC}=\widehat{CDB}=90^{\circ}$(giả thiết)

AB = CD (giả thiết)

BC chung

=> ΔABC=ΔDCB (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

=> AC = BD (hai cạnh tương ứng).

b) Vì ΔABC=ΔDCB => $\widehat{ACB}=\widehat{DBC}$ 

Xét tam giác OBC có:  

$\widehat{OCB}+\widehat{CBO}+\widehat{BOC}$= $180^{\circ}$

Mà $\widehat{OCB}=\widehat{CBO}$ 

do $\widehat{ACB}=\widehat{DBC}$ =>$2\widehat{CBO}+\widehat{BOC}=180^{\circ}$.

=>$2\widehat{CBO}=180^{\circ}−\widehat{BOC}$

=>$\widehat{CBO}=(180^{\circ}−\widehat{BOC}):2$ (1)

Xét ΔABD và ΔDCA có:  

AB = CD (giả thiết)

BD = AC (chứng minh trên)

AD chung

=> ΔABD=ΔDCA (c.c.c).

=> $\widehat{ADB}=\widehat{DAC}$

Xét tam giác OAD có:

$\widehat{OAD}+\widehat{ADO}+\widehat{AOD}=180^{\circ}$

Mà $\widehat{OAD}=\widehat{ADO}$ do $\widehat{ADB}=\widehat{DAC}$ => $2\widehat{ADO}+\widehat{AOD}=180^{\circ}$

Suy ra $2\widehat{ADO}=180^{\circ}−\widehat{AOD}$

=> $\widehat{ADO}=(180^{\circ}−\widehat{AOD}):2$ (2)

Mà $\widehat{AOD}=\widehat{BOC}$ (hai góc đối đỉnh) (3)

Từ (1), (2), (3) =>$\widehat{CBO}=\widehat{ADO}$ hay $\widehat{CBD}=\widehat{ADB}$

Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên AD // BC.