a) \(3{({x^2} + x)^2}-2({x^2} + x)-1 = 0\)

Đặt \(t = {x^2} + x\)

Phương trình đã cho trở thành:

\(3{t^2}-2t-1 = 0\)(1)

Ta thấy $a+b+c=3+(-2)+(-1)=0$

Vậy phương trình(1) có hai nghiệm là \({t_1} = 1,{t_2} =  \frac{c}{a}=- {1 \over 3}\)

Với \({t_1} = 1\)

Ta có: \({x^2} + x = 1\)

\(\Leftrightarrow {x^2} + x-1 = 0\)

\(\Delta =4 + 1=5\)

\(\Rightarrow \sqrt \Delta  = \sqrt 5 \)

\(\Leftrightarrow \left[ \matrix{{x_1} = {{ - 1 + \sqrt 5 } \over 2} \hfill \cr {x_2} = {{ - 1 - \sqrt 5 } \over 2} \hfill \cr} \right.\)

Với \({t_2}= -\frac{1}{3}\)

\(\Leftrightarrow {x^2} + x =  - {1 \over 3}\)(*)

\(\Leftrightarrow 3{x^2} + 3x{\rm{  + }}1{\rm{  = }}0\)

\(\Delta = 9 – 4 . 3 . 1 = -3 < 0\)

Vậy phương trình (*)vô nghiệm.

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt \({x_1} = {{ - 1 + \sqrt 5 } \over 2},{x_2} = {{ - 1 - \sqrt 5 } \over 2}\)

b) \({({x^2}-4x + 2)^2} + {x^2}-4x-4 = 0\)

Đặt \(t = {x^2}-4x + 2\)

Ta có phương trình đã cho trở thành \({t^2} + t-6 = 0\)

\(\Delta =1^{2}-4.1.(-6)=25\)

$\Rightarrow \sqrt{\Delta }=\sqrt{25}=5$

$\Leftrightarrow \left[ \matrix{t_{1}=\frac{-1+5}{2} \hfill \cr t_{2}=\frac{-1-5}{2} \hfill \cr} \right.$

$\Leftrightarrow \left[ \matrix{t_{1}=2 \hfill \cr t_{2}=-3 \hfill \cr} \right.$

Với \({t_1}= 2\) ta có: \({x^2}-4x + 2 = 2\)

\(\Leftrightarrow {x^2}-4x = 0\)

$\Leftrightarrow x(x-4)=0$

$\Leftrightarrow \left[ \matrix{x_{1}=0 \hfill \cr x_{2}=4 \hfill \cr} \right.$

Với \({t_2}= -3\) ta có: \({x^2}-4x + 2 =  - 3\Leftrightarrow {x^2}-4x + 5 = 0\).

\(\Delta= {(-4)}^2 – 4 . 1 . 5 = 16 – 20 = -4 < 0\)

Phương trình này vô nghiệm.

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: \({x_1} = 0, {x_2}= 4\).

c) \(x - \sqrt{x} = 5\sqrt{x} + 7\). Điều kiện: \(x ≥ 0\)

Đặt \(t = \sqrt{x}, t ≥ 0\)

Phương trình đã cho trở thành:

\(t^{2} -t= 5t + 7\)

$\Leftrightarrow t^{2}-t-5t-7=0$

$\Leftrightarrow t^{2}-6t-7=0$

Ta thấy $a-b+c=1-(-6)+(-7)=0$

Suy ra phương trình có hai nghiệm là $t_{1}=-1(loại); t_{2}=\frac{c}{a}=-\frac{-7}{1}=7(nhận)$

Với \(t = 7\), ta có: \(\sqrt{x} = 7\)

\(\Rightarrow x = 7^{2}=49\).

Vậy phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất là \(x = 49\)

d) \(\frac{x}{x+ 1}– 10 . \frac{x+1}{x} = 3\). Điều kiện: \(x ≠ -1, x ≠ 0\)

Đặt \(\frac{x}{x+ 1} = t \Rightarrow \frac{x+1}{x}=\frac{1}{t}\).

Vậy phương trình đã cho trở thành

\(t - \frac{10}{t} – 3 = 0\)

\(\Leftrightarrow {t^2}-3t-10 = 0\)

\(\Delta = (-3)^{2}-4.1.(-10)=49\)

$\Rightarrow \sqrt{\Delta }=\sqrt{49}=7$

\(\Leftrightarrow \left[ \matrix{t_{1}=\frac{-(-3)+7}{2} \hfill \cr t_{2}=\frac{-(-3)-7}{2} \hfill \cr} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left[ \matrix{t_{1}=5 \hfill \cr t_{2}=-2 \hfill \cr} \right.\)

Với \({t_1}= 5\), ta có \(\frac{x}{x+ 1} = 5\)

\(\Leftrightarrow x = 5x + 5\)

\(\Leftrightarrow 4x + 5=0\)

\(\Leftrightarrow x = -\frac{5}{4}\)

Với \({t_2} = -2\), ta có \(\frac{x}{x+ 1}= -2\)

\(\Leftrightarrow x = -2x – 2\)

\(\Leftrightarrow x = -\frac{2}{3}\).

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: \({x_1}= -\frac{5}{4}\), \({x_2} =-\frac{2}{3}\)