a)   \({\left( {x-3} \right)^2} + {\left( {x + 4} \right)^2} = 23-3x\)

\( \Leftrightarrow {x^2}-6x + 9 + {x^2} + 8x + 16 - 23+3x=0\)

\( \Leftrightarrow 2{x^2} + 5x + 2 = 0\)

\(\Delta  = 25-16 = 9\)

\(\Rightarrow \sqrt{\Delta }=\sqrt{9}=3\)

\(\Rightarrow {x_1} = \frac{-5-3}{2.2}= - 2\)

\({x_2} = \frac{-5+3}{2.2}= - \frac{1}{2}\)

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt là $x_{1}=-2; x_{2}=\frac{1}{2}$

b) \({x^3} + 2{x^2}-{\left( {x-3} \right)^2} = \left( {x-1} \right)({x^2}-2)\)

\(\Leftrightarrow {x^3} + 2{x^2}-{x^2} + 6x-9 = {x^3}-{x^2}-2x + 2\)

\(\Leftrightarrow {x^3} + 2{x^2}-{x^2} + 6x-9 - {x^3}+{x^2}+2x - 2=0\)

\( \Leftrightarrow 2{x^2} + 8x-11 = 0\)

\(\Delta'  = 4^{2}-2.(-11)=16 + 22 = 38\)

\(\Rightarrow {x_1} = {{ - 4 + \sqrt {38} } \over 2},{x_2} = {{ - 4 - \sqrt {38} } \over 2}\)

Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt là \({x_1} = {{ - 4 + \sqrt {38} } \over 2},{x_2} = {{ - 4 - \sqrt {38} } \over 2}\)

c) \({\left( {x-1} \right)^3} + 0,5{x^2} = x({x^2} + 1,5)\)

\( \Leftrightarrow {x^3}-3{x^2} + 3x-1 + 0,5{x^2} = {x^3} + 1,5x\)

\( \Leftrightarrow {x^3}-3{x^2} + 3x-1 + 0,5{x^2} - {x^3} - 1,5x=0\)

\(\Leftrightarrow -2,5{x^2}+1,5x - 1 = 0\)

\(\Leftrightarrow 5{x^2}-3x + 2 = 0\);

\(\Delta  = 3^{2}-4.5.2=9-40 =  - 31 < 0\)

Vậy phương trình vô nghiệm.

d) \(\frac{x(x - 7)}{3}– 1\) = \(\frac{x}{2}\) - \(\frac{x-4}{3}\)

\( \Leftrightarrow 2x(x-7)-6 = 3x-2(x-4)\)

\(\Leftrightarrow 2{x^2}-14x-6 = 3x-2x + 8\)

\(\Leftrightarrow 2{x^2}-14x-6 - 3x+2x - 8=0\)

\(\Leftrightarrow 2{x^2}-15x-14 = 0;\)

\(\Delta  = (-15)^{2}-4.2.(-14)=225 + 112 = 337\)

\(\Rightarrow {x_1} = {{15 + \sqrt {337} } \over 4},{x_2} = {{15 - \sqrt {337} } \over 4}\)

Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt là \({{15 + \sqrt {337} } \over 4},{x_2} = {{15 - \sqrt {337} } \over 4}\)

e) \(\frac{14}{x^{2}-9}\) = 1 - \(\frac{1}{3-x}\)

Điều kiện: \(x \ne  \pm 3\)

Phương trình đã cho tương đương với: \(\frac{14}{x^{2}-9}\) = \(1 + \frac{1}{x- 3}\)

\( \Leftrightarrow 14 = {x^2}-9 + x + 3 \)

\(\Leftrightarrow {x^2} + x-20 = 0\),

\(\Delta  = 1^{2} + 4.(-20) = 81\)

$\Rightarrow \sqrt{\Delta }=\sqrt{81}=9$

$\Rightarrow $\({x_1} = {{ - 1 - 9} \over 2} =  - 5;{x_2} = {{ - 1 + 9} \over 2} = 4\) (thỏa mãn)

Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt \({x_1} =  - 5,{x_2} = 4\).

f) \(\frac{2x}{x+1}\) = \(\frac{x^{2}-x+8}{(x+1)(x-4)}\)

Điều kiện xác định: \(x ≠ -1, x ≠ 4\)

Phương trình đã cho tương đương

\(2x(x-4) = {x^2}-x + 8\)

\( \Leftrightarrow 2{x^2}-8x-{x^2} + x-8 = 0\)

\(\Leftrightarrow {x^2}-7x-8 = 0\)

Ta có \(a – b + c = 1 – (-7) – 8 = 0\)

\(\Rightarrow {x_1} = - 1,{x_2} = -\frac{c}{a}=-\frac{-8}{1}=8\)

Kết hợp với điều kiện ta có $x\neq -1$

Vậy phương trình có một nghiệm duy nhất là \(x = 8\).