Gọi x (cm); y (cm) là độ dài hai cạnh góc vuông của tam giác vuông. $(x;y>0)$

Ta có công thức tính diện tích tam giác vuông là $\frac{1}{2}xy$

Ta có nếu tăng mỗi cạnh lên 3cm thì diện tích tam giác đó sẽ tăng thêm $36cm^{2}$.

Nếu mỗi cạnh tăng thêm 3m thì độ dài hai cạnh góc vuông là x + 3 và y + 3.

Diện tích tăng thêm $36cm^{2}$ thì diện tích mới là $\frac{1}{2}xy+36$

Ta có phương trình $\frac{(x+3).(y+3)}{2}=\frac{1}{2}xy+36\Leftrightarrow \frac{xy+3x+3y+9}{2}=\frac{xy+72}{2}$

$\Leftrightarrow xy+3x+3y+9=xy+72\Leftrightarrow xy-xy+3x+3y=72-9$

$\Leftrightarrow 3x+3y=63\Leftrightarrow x+y=21$(1)

Ta có nếu một cạnh giảm đi 2cm, cạnh kia giảm đi 4cm thì diện tích của tam giác giảm đi $26cm^{2}

Nếu một cạnh giảm đi 2cm, cạnh kia giảm đi 4cm thì độ dài hai cạnh góc vuông tương ứng sẽ là x - 2 và y - 4.

Diện tích của tam giác giảm đi $26cm^{2}$thì diện tích mới là $\frac{1}{2}xy-26$

Ta có phương trình $\frac{(x-2).(y-4)}{2}=\frac{1}{2}xy-26\Leftrightarrow \frac{xy-4x-2y+8}{2}=\frac{xy-52}{2}$

$\Leftrightarrow xy-xy-4x-2y=-52-8\Leftrightarrow -4x-2y=-60$

$\Leftrightarrow 4x+2y=60\Leftrightarrow 2x+y=30$(2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix}x+y=21 & \\ 2x+y=30 & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}y=21-x & \\ 2x+y=30 & \end{matrix}\right.$

Áp dụng quy tắc thế ta được: 

$\left\{\begin{matrix}y=21-x & \\ 2x+21-x=30 & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}y=21-x & \\ x=30-21 & \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}y=21-x & \\ x=9 & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}y=21-9 & \\ x=9 & \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}y=12 & \\ x=9 & \end{matrix}\right.$
Vậy độ dài hai cạnh góc vuông là : $9cm;12cm$