a.$\left\{\begin{matrix}\frac{1}{x}-\frac{1}{y}=1 & \\ \frac{3}{x}+\frac{4}{y}=5 & \end{matrix}\right.$

Đặt $u=\frac{1}{x};v=\frac{1}{y}$

Ta được hệ hai phương trình hai ẩn u và v:

$\left\{\begin{matrix}u-v=1 & \\ 3u+4v=5 & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}v=u-1 & \\ 3u+4v=5 & \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}v=u-1 & \\ 3u+4(u-1)=5 & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}v=u-1 & \\ 3u+4u-4=5 & \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}v=u-1 & \\ 7u=9 & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}v=u-1 & \\ u=\frac{9}{7} & \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}v=\frac{9}{7}-1 & \\ u=\frac{9}{7} & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}v=\frac{2}{7} & \\ u=\frac{9}{7} & \end{matrix}\right.$

Ta có $u=\frac{1}{x}\Leftrightarrow \frac{1}{x}=\frac{9}{7}\Leftrightarrow x=\frac{7}{9}$

Ta có $v=\frac{1}{y}\Leftrightarrow \frac{1}{y}=\frac{2}{7}\Leftrightarrow y=\frac{7}{2}$

Vậy hệ phương trình có một nghiệm duy nhất là $\left ( \frac{7}{9};\frac{7}{2} \right )$

b. $\left\{\begin{matrix}\frac{1}{x-2}+\frac{1}{y-1}=2 & \\ \frac{2}{x-2}-\frac{3}{y-1}=1 & \end{matrix}\right.$

Đặt $u=\frac{1}{x-2};v=\frac{1}{y-1}$

Ta được hệ hai phương trình hai ẩn u và v:

$\left\{\begin{matrix}u+v=2 & \\ 2u-3v=1 & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}2u+2v=4 & \\ 2u-3v=1 & \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}5v=3 & \\ 2u-3v=1 & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}v=\frac{3}{5} & \\ 2u-3v=1 & \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}v=\frac{3}{5} & \\ 2u-3.\frac{3}{5}=1 & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}v=\frac{3}{5} & \\ 2u-\frac{9}{5}=1 & \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}v=\frac{3}{5} & \\ 2u=1+\frac{9}{5} & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}v=\frac{3}{5} & \\ 2u=\frac{14}{5} & \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}v=\frac{3}{5} & \\ u=\frac{14}{10} & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}v=\frac{3}{5} & \\ u=\frac{7}{5} & \end{matrix}\right.$

Ta có $u=\frac{1}{x-2}\Leftrightarrow \frac{1}{x-2}=\frac{7}{5}\Leftrightarrow x-2=\frac{5}{7}\Leftrightarrow x=\frac{5}{7}+2\Leftrightarrow x=\frac{19}{7}$

Ta có $v=\frac{1}{y-1}\Leftrightarrow \frac{1}{y-1}=\frac{3}{5}\Leftrightarrow y-1=\frac{5}{3}\Leftrightarrow y=\frac{5}{3}+1\Leftrightarrow y=\frac{8}{3}$

Vậy hệ phương trình có một nghiệm duy nhất là $\left ( \frac{19}{7};\frac{8}{3} \right )$