a) \({x^2} - 2xy + {y^2} + 1 > 0\)  với mọi số thực x và y

Ta có \({x^2} - 2xy + {y^2} + 1 = \left( {{x^2} - 2xy + {y^2}} \right) + 1\)

=\({\left( {x - y} \right)^2} + 1 > 0\) do \({\left( {x - y} \right)^2} \ge 0\) với mọi x, y.

b) \(x - {x^2} - 1 < 0\)  với mọi số thực x.

Ta có \(x - {x^2} - 1 =  - \left( {{x^2} - x + 1} \right)\)

=\( - \left[ {{x^2} - 2.x.{1 \over 2} + {{\left( {{1 \over 2}} \right)}^2} + {3 \over 4}} \right]\)

= \( - \left[ {{x^2} - 2x.{1 \over 2} + {{\left( {{1 \over 2}} \right)}^2}} \right] - {3 \over 4}\)

=\( - {\left( {x - {1 \over 2}} \right)^2} - {3 \over 4} < 0\)  với mọi x do \({\left( {x - {1 \over 2}} \right)^2} \ge 0\)