Theo giả thiết ta có hình vẽ sau:

a) Do M là trung điểm của BC (gt) và D là trung điểm của AB (gt)

=> MD là đường trung bình của ΔABC do =>ó MD // AC

Mặt khác ta có : AC ⊥ AB (tam giác ABC vuông tại A) 

=>MD ⊥ AB (1)

Do E đối xứng với M qua D => MD = DE (2)

Từ (1) và (2) => AB là đường trung trực của ME.

Vậy E đối xứng với M qua AB. (đpcm)

b) Ta có MD // AC (cmt) => ME // AC.

Ta lại có: DE = MD = $\frac{1}{2}AC$ => ME = AC

=> Tứ giác AEMC là hình bình hành (hai cạnh đối vừa song song vừa bằng nhau)

Xét tứ giác AEBM có D vừa là trung điểm của AB vừa là trung điểm của ME.

=>Tứ giác AEBM là hình bình hành (các đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường)

Mặt khác AB ⊥ EM (cmt)

=>Hình bình hành AEBM  là hình thoi.

c) Với BC = 4cm => BM= 2cm (do M là trung điểm của BC)

Do AEBM là hình thoi nên AM = MB = BE = AE = 4cm

=>Chu vi hình thoi AEBM bằng 4.BM = 4.2 = 8cm

d)Hình thoi AEBM là hình vuông ⇔ hình thoi AEBM có một góc vuông ⇔ AM ⊥ BM

⇔ AM là đường cao của tam giác ABC.

Mặt khác ta có ΔABC có trung tuyến AM.

AM vừa là đường trung tuyến, vừa là đường cao ⇔ ΔABC cân tại A

Vậy để AEBM là hình vuông khi ΔABC vuông có thêm điều kiện cân tại A.