Xét tam giác ABC có: EB = EA, FB = FC (gt)

=>EF là đường trung bình của tam giác ABC => EF //AC, EF =  \({1 \over 2}\) AC. (1)

Xét tam giác ADC có : HD = HA, GD = GC (gt)   

=> HG là đường trung bình của tam giác ADC => HG // AC, HG =  \({1 \over 2}\)AC. (2)

Từ (1) và (2) => EF //HG, EF = HG.

Tứ giác EFGH có EH // FG, EH = FG => Tứ giác EFGH là hình bình hành.

a) Hình bình hành EFGH là hình chữ nhật khi có 1 góc vuông.

Giả sử hình bình hành EFGH có một góc vuông, khi đó $\widehat{HEF} = 90^{0}$

   ⇔ HE ⊥ FE, mà EF // AC => HE ⊥ AC

Ta lại có : HE //BD (cmt)  ⇔ AC ⊥ BD.

Vậy điều kiện để hình bình hành EFGH là hình chữ nhật là các đường chéo AC và BD vuông góc với  nhau.

b)  Để hình bình hành EFGH là hình thoi   ⇔ EF = EH

Theo chứng minh câu a ta có:

EF = \({1 \over 2}AC\) 

EH = \({1 \over 2}BD\)

 => Để EF = EH ⇔ AC = BD 

Vậy điều kiện để  hình bình hành EFGH là hình chữ nhật là các đường chéo AC và BD vuông góc với  nhau.

c) Để hình bình hành EFGH là hình vuông khi và chỉ khi hình bình hành EFGH vừa là hình chữ nhật, vừa là hình thoi.

Theo điều kiện vừa tìm được ở câu a và b thì:

• hình bình hành EFGH là hình chữ nhật là các đường chéo AC và BD vuông góc với  nhau.
• hình bình hành EFGH là hình chữ nhật là các đường chéo AC và BD vuông góc với  nhau.

Vậy điều kiện để  hình bình hành EFGH là hình là các đường chéo AC, BD bằng nhau và vuông góc với nhau.