a) $\sin 3x-\cos 5x=0$

$\Leftrightarrow \cos 5x=\sin 3x$

$\Leftrightarrow \cos 5x=\cos (3x-\frac{\pi}{2})$

$\Leftrightarrow \left[ \matrix{5x=3x-\frac{\pi}{2}+k 2\pi \hfill \cr 5x=-3x+\frac{\pi}{2} +k 2 \pi\hfill \cr} \right.$

$\Leftrightarrow \left[ \matrix{x=-\frac{\pi}{4}+k \pi \hfill \cr x=\frac{\pi}{16}+\frac{k \pi}{4} \hfill \cr} \right. , k\in \mathbb{Z}$

Vậy nghiệm của phương trình là $x=-\frac{\pi}{4}+k \pi $ và $x=\frac{\pi}{16}+\frac{k \pi}{4}$ với $k \in \mathbb{Z}$.

b) $\tan 3x. \tan x=1$ (1)

ĐKXĐ: $\cos x. \cos 3x \neq 0 \Leftrightarrow x \neq \frac{\pi}{6}+\frac{k \pi}{3}$

$(1) \Rightarrow \cos 3x. \cos x=\sin 3x. \sin x$

$\Leftrightarrow \cos 3x. \cos x-\sin 3x. \sin x=0$

$\Leftrightarrow \cos 4x=0$

$\Leftrightarrow 4x=\frac{\pi}{2}+k \pi$

$\Leftrightarrow x=\frac{\pi}{8}+\frac{k \pi}{4}, k \in \mathbb{Z}$ 

Do $\frac{\pi}{8}+\frac{k \pi}{4} \neq \frac{\pi}{6}+\frac{m \pi}{3} \Leftrightarrow 6k \neq 8m+1$ (luôn đúng)  với $k, m \in \mathbb{Z}$  nên $x=\frac{\pi}{8}+\frac{k \pi}{4}, k \in \mathbb{Z}$  luôn thỏa mãn ĐKXĐ.

Vậy nghiệm của phương trình là $x=\frac{\pi}{8}+\frac{k \pi}{4}, k \in \mathbb{Z}$.

Chú ý:  Những phương trình có chứa mẫu số khi giải xong cần đối chiếu với ĐKXĐ để tránh thừa trường hợp.