a) $\tan (x-15^{0})=\frac{\sqrt{3}}{3}=\tan 30^{0}$

$\Leftrightarrow x-15^{0}=30^{0}+k.180^{0}, k\in \mathbb{Z}$

$\Leftrightarrow x=45^{0}+k.180^{0}, k\in \mathbb{Z}$

Vậy nghiệm của phương trình là $x=45^{0}+k.180^{0}, k\in \mathbb{Z}$.

b) $\cot (3x-1)=-\sqrt{3}$

$\Leftrightarrow \cot(3x-1)=\cot(\frac{5 \pi}{6})$

$\Leftrightarrow 3x-1=\frac{5\pi}{6}+k \pi$

$\Leftrightarrow x=\frac{1}{3}+\frac{5 \pi}{18}+k.\frac{\pi}{3}, k\in \mathbb{Z}.$

Vậy nghiệm của phương trình là $x=\frac{1}{3}+\frac{5 \pi}{18}+k.\frac{\pi}{3}, k\in \mathbb{Z}.$

c) $\cos 2x. tan x=0$ (ĐK $\cos x \neq 0 \Leftrightarrow x \neq \frac{\pi}{2}+k \pi$)

$\Leftrightarrow \left[ \matrix{\cos 2x=0\hfill \cr \tan x=0 \hfill \cr} \right.$

$\Leftrightarrow \left[ \matrix{2x=\frac{\pi}{2}+k \pi \hfill \cr x=k\pi \hfill \cr} \right.$

$\Leftrightarrow \left[ \matrix{x=\frac{\pi}{4}+k. \frac{\pi}{2} \hfill \cr x=k \pi  \hfill \cr} \right. k \in \mathbb{Z} (TM)$. 

d) $\sin 3x. \cot x=0$ (ĐK  $\sin x \neq 0 \Leftrightarrow x \neq k \pi$)

$\Rightarrow \left[ \matrix{\sin 3x=0\hfill \cr \cos x=0 \hfill \cr} \right.$

Với $ \cos x=0 \Leftrightarrow x=\frac{\pi}{2}+k \pi, k \in \mathbb{Z} $ (thỏa mãn ĐKXĐ)

Với $\sin 3x=0 \Leftrightarrow x=\frac{k \pi}{3}, k \in \mathbb{Z}$. Đối chiếu với điều kiện xác định thì k không chia hết cho 3.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = π/2 + kπ, (k ∈ Z) và x =  kπ/3 (với k nguyên không chia hết cho 3).